Teorema del valor intermedio

Para el teorema de cálculo diferencial, véase Teorema del valor medio.

Teorema de los valores intermedios.

 

En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

 

El teorema de los valores intermedios establece que:

 

Sea f\ una función continua en un intervalo [a,b]\ . Entonces para cada u\ tal que f(a)<u<f(b)\ , existe al menos un c\ dentro de (a,b)\ tal que f(c)=u\ .

 

Enunciados equivalentes

 

Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un número entre f(a)y f(b), entonces existe un c ∈ [a, b] tal que f(c) = u.

Como consecuencia del teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.

Si X y Y son espacios topológicos, f : X → Y es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo.

Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.

Teorema de Bolzano: caso particular u=0\ .

 

Historia

 

El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.

 

El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).

Demostración

 

El TVI hace parte de los llamados «teoremas de existencia». A la pregunta: «¿Existe un real c tal que f(c)=u?», el teorema responde afirmativamente: «Sí, existe.» Se impone entonces la pregunta: «¿Cuál es ese número real?». Varias demostraciones son posibles, dependiendo de las premisas iniciales. La prueba siguiente utiliza la noción del supremo.

Demostración utilizando el supremo

Teorema de Bolzano

 

Es frecuente (en algunos cursos de cálculo) demostrar independientemente el Teorema de Bolzano, y después servirse de él para enunciar el TVI como un corolario. Enunciado:

 

Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.

 

El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que como mínimo existe uno.

 

Si f(a) y f(b) no son del mismo signo, existe al menos un real c comprendido entre a y b tal que f(c) = 0 (pues 0 está comprendido entre f(a) y f(b)).

Demostración con la topología

 

Es posible demostrar la propiedad en algunas líneas solamente, evocando nociones de la topología matemática. Tras esta aparente simplicidad se encuentran resultados que hay que demostrar previamente, como el hecho que todo intervalo de ℝ es conexo, demostraciones que son del mismo grado de dificultad que la del TVI.

 

Los conjuntos conexos de ℝ son los intervalos. Es el conjunto de partida. La imagen directa de un conexo por una función continua es un conexo. De aquí se infiere que la imagen por f de [a,b] es un intervalo, lo cual demuestra el teorema.

 

Ejemplos de aplicación

TV pic1.png

 

Demostrar que dos funciones continuas sobre un mismo intervalo toman el mismo valor en al menos un punto del intervalo.

 

Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo no vacío [a;b] de R, tales que g(a)-f(a) y g(b)-f(b) sean de signo contrario. Existe al menos un real c comprendido entre a y b y tal que f(c) = g(c).

 

En efecto, sea φ = f – g. La función φ es continua, y el 0 está comprendido entre φ(a) y φ(b). Existe entonces al menos un real c comprendido entre a y b y tal que φ(c) = 0, lo cual implica f(c) = g(c).

 

En el caso particular donde g es la identidad sobre el intervalo [a;b] y donde f(a) > a y f(b) < b, se obtiene un teorema de punto fijo (Teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 1).

 

El problema se puede reformular como: «Demostrar que dos funciones se cortan en un punto» y aplicar el Teorema de Bolzano definiendo la misma función f(x) – g(x).

 

Demostrar que para todo polinomio P a coeficientes reales y de grado impar, existe al menos una raíz real, es decir un número real c tal que P(c) = 0

 

En efecto, se puede suponer (sin pérdida de generalidad) que el coeficiente del término de mayor grado de P es igual a 1. Al ser de grado impar, P(x) tiende a -\infty\ cuando x tiende a -\infty\ , y P(x) tiende a +\infty\ cuando x tiende a +\infty\ . Se deduce que existe un real a tal que P(a) ≤ 0 y un real b tal que P(b) ≥ 0. Como la función polinómica P es continua, existe al menos un real c comprendido entre a y b y tal que P(c) = 0.

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