Problemas de máximos y mínimos

 

En ocasiones nos interesa resolver situaciones en las que hay que hallar un valor que haga máximo o mínimo otro, estos problemas se llaman de «optimización». Los problemas de optimización se reducen a obtener los extremos relativos de una función.

Estos problemas a menudo requieren un planteamiento previo que, resumiendo, es el siguiente:

 

Determinar la función de la que se quiere obtener el máximo o el mínimo. Es fácil que ésta dependa de más de una variable; en este caso buscar la relación entre ellas para que sólo tengamos una incógnita.

Calcular el máximo o el mínimo pedido, imponiendo las condiciones necesarias en sus derivadas.

 

MÁXIMO

 

f'(x0)=0 y f»(x0)<0

MÍNIMO

 

f'(x0)=0 y f»(x0)>0

 

Criticar la solución obtenida, comprobando que los resultados tienen sentido en el contexto del enunciado.

 

recuerda

 

Maximizar

Tomamos un rectángulo de perímetro 8 unidades, ¿cuáles serán sus dimensiones para que tenga área máxima?.

 

Llamemos x a uno de los lados,

como el perímetro es 8,

el otro lado será 4-x,

luego el área: x·(4-x)

 

Escribimos la función:      f(x)=4x-x2

Calculamos su derivada:   f'(x)=4-2x

y la segunda derivada:     f»(x)=-2

 

Calculamos x para que f’ sea 0:

f'(x)=4-2x=0 ⇒ x=2

 

Dado que en este caso f»<0, esta función sólo tiene máximo que alcanza en x=2, el valor del máximo es f(2)=4.

 

En la escena están representadas las funciones f, f’ y f». También el rectángulo del problema.

Observa que f(x) es una parábola que tiene un máximo en x=2. Cambiendo el valor de «x» se comprueba que en efecto éste es el máximo.

 

Minimizar

Tomamos un rectángulo de área 4 unidades, ¿cuáles serán sus dimensiones para que el perímetro sea mínimo?.

 

Llamemos x a uno de los lados,

como el área es 4, el otro lado será 4/x,     luego el perímetro: 2x+(4/x)·2

 

Escribimos la función:       f(x)=2x+8/x

Calculamos su derivada:   f'(x)=2-8/x2

y la segunda derivada:     f»(x)=16/x3

 

Calculamos x para que f’ sea 0:

f'(x)=2-8/x2=0 ⇒ x2=2 ⇒ x=±2

 

Para x=2, f»(2)=16/8=2>0 y hay mínimo, de valor f(2)=8, este es el perímetro mínimo que se obtiene con un cuadrado de lado 2.

 

En la escena están representadas las funciones f, f’ y f». También el rectángulo del enunciado.

Cambiando el valor de «x» se comprueba dónde alcanza f el mínimo, y que éste cumple las condici

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