«Una imagen vale mas que 10000 palabras, pero una intuicion vale mas que 10000 imagenes»
Esta pregunta podria tener una respuesta obvia: son logicas. Pero exploremos que significa verdad logica, para los logicos o los matematicos. Una verdad logica es aquella que se construye de una sistema logico consistente principalmente en: axiomas (verdades previamente establecidas) y reglas de inferencias. Las verdades logicas son proposiciones deducidas de los axiomas a partir de las reglas de deduccion o tambien llamadas reglas de inferencia. Las teorias matematicas como la teoria de conjunto o la teoria de los espacios de banach son sistemas logicos en la cual existe sus axiomas y sus reglas de inferencia.
El negocio del matematico, en la mayoria de los casos, consiste en definir sistemas logicos (o teoria matematicas) que represente sus intuciones matematicas acerca de un campo particular de estudio. Cuando los matematicos llegan a construir un sistema logico, formal para una teoria se puede decir que esa teoria matematica llega a la mayoria de edad, ya que se vuelve objeto de estudio independiente de su aplicacion practica y se comienza a estudiar las concecuencias logicas (es decir deducidas de los axiomas y reglas de inferencia) y particularmente si estas concecuencias logicas son plausibles o no. Bueno aqui le estoy dando mas argumentos para decir que las matematicas son sumamante logicas, solo hasta aqui.
La pregunta clave sera : Existirán enunciados que tienen una estructura verdadera de por si, es decir enunciados que hablan acerca de algo concreto?. La respuesta es, ejemplos de estos enunciados serian «El dia esta caluroso» o «El presidente de la republica XXX es bajito» estas oraciones con la interpretacion adecuada pueden llegar a ser verdaderas o falsas no hay mas.
Ahora el negocio del matematico es construir un andamiaje logico para oraciones que tenga interes en el estudio matematico, y con este andamiaje poder calcular el valor de verdad de algun enunciado. Ahora viene una pregunta clave en la historia de las matematicas: Existiran enunciados concretos acerca de los numeros que no puedan ser deducidos por algun sistema logico ?. Y la respuesta es no y la dio en 1930 un logico llamado Kurt Godel.
Y lo que hizo Gogel es construir el enunciado de los numeros siguiendo como ejemplo la paradoja del mentiroso «Esta oracion es falsa». Godel construyo un equivalente a este enunciado dentro del sistema logico de los numeros naturales (construido por Peano) el cual expresaba en terminos de numeros que: «Este enunciado acerca de numeros no se puede demostrar».
Que implicaciones tiene?
Que existen enunciados matematicos que la logica no puede llegar a demostrarse como verdadero. Que las matematicas transciende el campo de la logica y llega a los dominios no gobernados por la logica, y en aquellos dominios el matematico usa su intuicion para extraer verdades en ese dominios y presentarlas en un formato logico, algo asi como hacian los exploradores de regiones no exploradas del mundo llegaban primero usando su intuicion y despues hacian un mapa (sistema logico) para aquellos que quieran repetir la travesia.
Llegar a comprender el trabajo de Godel es una puerta para humanizar la matematica, ya que esta se ha presentado a nosotros a traves de nuestros profesores de escuela, colegio y universidad como una ciencia fria, calculadora, totalmente racional y tiranica ay que fallemos en el procedimiento de calculo, teniamos cero en el examen de matematicas.
Pero las concecuencia del trabajo de Godel nos pinta las matematicas de otra forma. Que la verdad transiende la logica !!! que muchas veces la verdad y la logica no se llevan de la mano, esto podria sonar heretico para muchos profesores de matematicas. Tambien nos permite ver a las matematicas como un ser humano con su faceta fria y racional (su lado masculino) y tambien con su faceta irracional, impredecible e intuitiva (su lado femenino) y esta es la forma que mas gusta ver de las matematicas. Para mi se vuelve una seduccion constante estudiarla, algo asi como las aventuras de Indiana Jones en los mundos platonicos en donde uno tiene que buscar algun tesoro valioso enterrado en algun templo.