Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea \theta\in [0,2\pi] fijo y T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es:A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}entonces T es invertible.

b. Sea \{u_1,u_2,...,u_k\} un conjunto de vectores linealmente independientes y sea S el subespacio generado por dicho conjunto. Si v\notin S, entonces el conjunto \{u_1,u_2,...,u_k,v\} también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 y S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 son no nulas y satisfacen que S es inyectiva y Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2. Por ello, la nulidad de T es 3.

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de a\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.