Tema 1

A continuación se presentan cuatro enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal. Si dim{V}=n y dim{W}=n-1, es cierto que:

a.1. T debe ser sobreyectiva.
a.2. T(\textbf{0}_V)=\textbf{0}_W.
a.3. Si \{v_1,v_2,...,v_n\} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces no necesariamente \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\} es un conjunto linealmente independiente de W.
a.4. El rango de T es menor o igual a n-1.

Literal b. Si u y v son vectores ortogonales de un espacio real, entonces es cierto que:

b.1. \lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2.
b.2. u y v son linealmente independientes.
b.3. 3u y -4v son ortogonales.
b.4. u y u+v no pueden ser ortogonales.

Literal c. Sea A una matriz cuadrada de orden n en un campo \mathbb{R}, entonces es cierto que:

c.1. A y A^T tienen el mismo polinomio característico.
c.2. Si A es ortogonalmente diagonalizable, entonces es simétrica.
c.3. \lambda es un autovalor de A sí, y solo sí, \lambda es una raíz del polinomio característico de A.
c.4. La multiplicidad algebraica de un autovalor \lambda se define como la dimensión del autoespacio E_{\lambda}.

Literal d. Sea A una matriz cuadrada diagonalizable de orden n con entradas en un campo \mathbb{K} es cierto que:

d.1. A tiene n autovectores linealmente independientes.
d.2. A tiene n autovectores diferentes.
d.3. A debe se una matriz simétrica.
d.4. Existen matrices cuadradas P y D tales que A=P^{-1}DP.