Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 4

Se define la función T:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2 por T(a)=(a-2,a), entre los espacios vectoriales reales (\mathbb{R},\oplus,\odot) y (\mathbb{R}^2,\boxplus,\boxdot), cuyas operaciones están definida por:\begin{aligned} a\oplus b &= a+b-1 , \forall a,b\in \mathbb{R}\\ k\odot a &= ka-k+1 , \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall a\in \mathbb{R} \\ (a_1,b_1)\boxplus (a_2,b_2) &= (a_1+a_2+1,b_1+b_2-1), \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in \mathbb{R}^2 \\ k\boxdot(a,b) &= (ka+k-1,kb-k+1), \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall (a,b)\in \mathbb{R}^2 \end{aligned}Determine, de ser posible:

a) Si T(a\oplus b)=T(a)\boxplus T(b), \forall a,b\in \mathbb{R}.
b) Si T(\lambda \odot a)=\lambda \boxdot T(a), \forall \lambda, a\in \mathbb{R}.
c) El elemento neutro de la adición en \mathbb{R}.
d) El elemento neutro de la adición en \mathbb{R}^2.
e) La imagen del elemento neutro de la adición en \mathbb{R}.
f) Si T es una transformación lineal.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, con entradas reales y las operaciones usuales. Sean a un número real fijo, B_1=\{1,x,x^2 \} la base canónica y B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}.

a) Verifique que B_2 es una base para \mathcal{P}_2(\mathbb{R}).
b) Determine la matriz de cambio de base de B_1 a B_2.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 2

Sea V=M_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real, de todas las matrices cuadradas de orden 2, con entradas reales y las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar para matrices. Sean \small{H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} : a-b-c-d=0 \end{Bmatrix}} y \small{W=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}} dos subespacios de M_2(\mathbb{R}). Determine, de ser posible:

a) Si \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} \in H+W.
b) Bases B_{H\cap W}, B_{H+W} y B_V para los subespacios H\cap W, H+W y V, respectivamente; de tal forma que B_{H\cap W}\subseteq B_{B+W} \subseteq B_V.

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondientemente, cual de ellas es verdadera o falsa. En cada caso, justifique su respuesta bien sea presentando alguna demostración, contraejemplo o cálculo.

a. Dado el sistema de ecuaciones lineales \scriptsize{\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&a-2&0 \\ 0&0&a-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b+1 \\ 0 \end{pmatrix}}. Si a=2 entonces el sistema siempre tendrá infinitas soluciones. V
\bigcirc
F
\bigcirc
b. Si (V,+,\cdot) y (W,\oplus,\bigodot) son dos espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}, T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y U es un subespacio vectorial de W entonces H=\{ v\in V : T(v)\in U \} es un subespacio de V. V
\bigcirc
F
\bigcirc
c. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y B una base de V. Entonces las coordenadas de un vector v\in V en un espacio vectorial respecto a la base B son únicas. V
\bigcirc
F
\bigcirc
d. El espacio nulo de la matriz \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&4&6 \\ 0&-2&2 \\ 3&3&12 \end{array} \end{pmatrix} } es \{ (-5t,t,t) : t\in \mathbb{R} \}. V
\bigcirc
F
\bigcirc
e. El vector \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \end{pmatrix} } pertenece al espacio columna de la matriz \scriptsize{A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 2&-4&0&0 \\ -1&2&0&0 \\ 0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix} }. V
\bigcirc
F
\bigcirc

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la función T:P_1(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^3 definida por T(ax+b)=(a+2b,a-b,b), donde P_1(\mathbb{R}) denota el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 1, con las operaciones usuales.

a. Verifique que T es una transformación lineal.
b. Considere las bases B_{\mathbb{R}^3}=\{ (1,0,0),(1,1,0),(0,1,1) \} y B_{P_1(\mathbb{R})}=\{ 1,x+1 \} de P_1(\mathbb{R}) y \mathbb{R}^3 respectivamente, construya la matriz asociada a la transformación lineal de la base B_{P_1(\mathbb{R})} a la base B_{\mathbb{R}^3}.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea A una matriz cuadrada de orden 3, con entradas reales y cuyos subespacios propios son E_{\lambda_1}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x+y=0\ ,\ z=0 \} y E_{\lambda_2}=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ :\ x-y-2z=0 \}. Determine:

a. Una base para E_{\lambda_1}.
b. Una base para E_{\lambda_2}.
c. Si la matriz A es diagonalizable.
d. Si la matriz A es diagonalizable ortogonalmente.
e. El complemento ortogonal de E_{\lambda_2}, considerando en \mathbb{R}^3 el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 2

Dado el sistema de ecuaciones\left \lbrace \begin{alignedat}{3} &x + &3&y+&&z = 2 \\ &x + &2&y-&5&z = 4 \\ 2&x + &5&y-&{a^2}&z = a+4 \end{alignedat}\right.determine de ser posible:

a. El valor de a tal que el sistema tenga solución única.
b. El valor de a tal que el sistema tenga infinitas soluciones.
c. El valor de a tal que el sistema no tenga solución.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 5

Sea T:V\longrightarrow U una transformación lineal entre los espacios vectoriales V y U. Suponga que V es de dimensión finita y que T no es inyectiva. Demuestre que dim(V) es igual a la suma de las dimensiones de la imagen de T y la dimensión de su núcleo. Esto es, dim(V)=dim(Imagen(T))+dim(Ker(T)).

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará diez afirmaciones. Indique, rellenando el círculo adjunto, cuáles de ellas es son verdaderas. Cada respuesta incorrecta eliminará una respuesta correcta.

a. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y v_1, v_2 y v_3 son vectores de V, entonces el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v_1, v_2 y v_3 forman un subespacio de V. \bigcirc
b. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Se dice que el conjunto B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V si B es un conjunto linealmente independiente. \bigcirc
c. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A asociados al autovalor \lambda, entonces u_1 y u_2 deben ser vectores ortogonales. \bigcirc
d. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal inyectiva, entonces V y W deben tener la misma dimensión. \bigcirc
e. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y W_1 y W_2 son dos subespacios de V de dimensión finita, entonces \footnotesize{dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)}. \bigcirc
f. Sean U y V espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ v_1,v_2,v_3 \} es una base de V junto con u_1 y u_2 vectores en U, entonces existe una unica transforamción lineal T:V\longrightarrow U tal que T(v_1)=u_1, T(v_2)=u_2 y T(v_3)=\bold{0}_U. \bigcirc
g. Si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial V, sobre el cual se ha definido un producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en V. \bigcirc
h. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces \{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \} es una base de la imagen de T. \bigcirc
i. Si A es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales distintos de cero. \bigcirc
j. Sea A es una matriz cuadrada de orden cinco con \lambda_1 y \lambda_2 valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable si y solo si dim(E_{\lambda_1})+dim(E_{\lambda_2})=5, donde E_{\lambda_i}, denota el espacio propio asociado a \lambda_i. \bigcirc