Tema 5

Examen | 2011-2012 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 5

Sea V=P_2. Sean B=\{ u,v,w \} y S=\{ p,q,r \} dos bases ordenadas de V. Se conoce que:C_{B\rightarrow S}=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrr} -1&0&-1 \\ 0&1&0 \\ 2&0&1 \end{array}\end{pmatrix} es la matriz de cambio de base de B en S. Además:\begin{aligned}[x+1]_{B} &=(1,1,1) \\ [x-1]_{B} &=(1,0,0) \\ [x^2]_{B} &=(0,0,1) \end{aligned}Determine los vectores de las bases B y S.

Tema 4

Examen | 2011-2012 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 4

Con base en el gráfico que se presenta a continuación:

a) Determine la regla de correspondencia de la transformación lineal T_1 que rota 45^{\circ} (en contra de las manecillas del reloj) cada punto del gráfico. Para las imágenes de los puntos A,B,C,D,E,F utilice correspondientemente la notación A',B',C',D',E',F'.
b) Considere que una segunda transformación lineal T_2 toma cada punto del nuevo gráfico y conserva su abscisa pero duplica su ordenada. Denote correspondientemente A'',B'',C'',D'',E'',F'' a las imágenes de los puntos A',B',C',D',E',F'. Determine con dos decimales de precisión las coordenadas de los puntos A'',B'',C'',D'',E'',F''.
c) Grafique en el plano los puntos A'',B'',C'',D'',E'',F''.

Tema 3

Examen | 2011-2012 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea V=\{ (x,y,z):x,z\in \mathbb{R}\wedge y\in \mathbb{R}^+ \} un espacio vectorial real con operaciones definidas \oplus y \odot tal que:\begin{aligned} (x_1,y_1,z_1)\oplus (x_1,y_1,z_1)&=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) \\ \alpha\odot (x,y,z)&=(\alpha x,y^\alpha,\alpha z) \end{aligned}Sea W=\mathcal{L}\{ (1,3,-1),(2,9,-2),(1,3,1) \} un subespacio vectorial de V. Justificando su respuesta, determine lo siguiente:

a) Si (3,9,-3)\in W.
b) Una base B de W.
c) (5,243,1)_B.

Tema 2

Examen | 2011-2012 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 2

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique formalmente su calificación.

a) Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un vector cualquiera de V, entonces S\cup \{ w\} es linealmente independiente de V.
b) Si A es una matriz cuadrada de n\times n, entonces A+A^T es una matriz simétrica.