Tema 6

Examen | 2013-2014 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 6

Sea f:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2 una función con regla de correspondencia:f(x,y)=(2x-y,y-x)

a) Pruebe que f es un operador lineal en \mathbb{R}^2.
b) Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación 2x+y=4 se le aplica el operador f. Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrica y grafíquelo.

Tema 5

Examen | 2013-2014 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 5

Sea el espacio vectorial real V=M_{2\times 2}. Sean los subespacios de V:\begin{aligned} H_1&=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}\begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array}\end{pmatrix} \in M_{2\times 2} : c=2a+b \wedge d=a-b\end{Bmatrix} \\ H_2&=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix}\begin{array}{rr} 1&-1\\5&1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array}{rr} 2&2\\2&1 \end{array}\end{pmatrix} \end{Bmatrix} \\ H_3&=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}\begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array}\end{pmatrix} \in M_{2\times 2} : a=3c-8b-5d\end{Bmatrix} \end{aligned}

a) Encuentre una base y determine la dimensión de H_1\cap H_2.
b) Determine si H_1 \cup H_3 es un subespacio de V. Justifique su respuesta.
c) ¿\begin{pmatrix}\begin{array}{rr} -8&-5\\19&4 \end{array}\end{pmatrix} \in H_2+H_3?. Justifique su respuesta.

Tema 4

Examen | 2013-2014 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 4

Califique como verdadera o falsa cada proposición que se enuncia a continuación. Justifique su respuesta.

a) Sean H y W subespacios de un conjunto vectorial V. Si V=H+W, entonces V=H\cup W.
b) Sean v_1,v_2,v_3 vectores de un espacio vectorial V. Si u_1,u_2,u_3 son linealmente independientes y son, respectivamente, los vectores coordenados de v_1,v_2,v_3 respecto de una base B de V, entonces dim\,V \ge 3.

Tema 2

Examen | 2013-2014 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 2

Ratifique o rectifique las siguientes definiciones.

a) Se dice que los vectores v_1,v_2,...,v_n de un espacio vectorial V son linealmente independientes si, y solo si, al menos uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los n-1 vectores restantes.
b) Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo \mathbb{K}. Se dice que T:V\longrightarrow W es una transformación lineal si se cumple que: \begin{aligned} \forall v_1,v_2\in V: T(v_1+v_2)&=T(v_1)+T(v_2) \\ \forall v_1,v_2\in V: T(v_1-v_2)&=T(v_1)-T(v_2) \end{aligned}

Tema 1

Examen | 2013-2014 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 1

Sea V=C^1(\mathbb{R}), el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el conjunto de los reales \mathbb{R}. Se definen los subconjuntos de V:\begin{aligned} W&=\{y(x)\in V:y'(x)+2y(x)=0 \} \\ H&=\{ y(x)\in V:y'(x)+2y(x)=x \} \end{aligned}

a) Determine si W y H son subespacios de V.
b) Suponga que \phi_1,\phi_2 \in H. ¿Se puede afirmar que \phi_1-\phi_2 \in W?