Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Dada la matriz A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1&a&-2\\0&b&0\\ -c&0&4 \end{array} \end{pmatrix} determine, de ser posible:

a. Los valores de a, b y c para que A sea una matriz simétrica y \lambda=5 sea un valor propio asociado al vector propio \begin{pmatrix} \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix} de A.
b. Una base ortonormal de \mathbb{R}^3 conformada por vectores propios de A.
c. Las matrices D y P tales que D=P^TAP.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Sea V el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de orden 2, con las operaciones usuales. Se define, en V, el producto interno \langle A|B \rangle=tr(B^T A) (esto es, la traza del producto entre la transpuesta de la matriz B y la matriz A). Considerando el subespacio H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\end{pmatrix} : a+c=0 \, , \, \forall a,b,c\in \mathbb{R} \end{Bmatrix}de V, determine:

a. Una base ortonormal para H.
b. El complemento ortogonal de H
c. La proyección del vector \begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 1&2\\2&-1 \end{array} \end{pmatrix} sobre H.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R}) una transformación lineal cuya regla de correspondencia es T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c. Determine, de ser posible, los valores de k tal que T sea un isomorfismo.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si \mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto de vectores en V, la matriz de Gram de \mathcal{A} es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1} tal que a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle.

a. Si V es el espacio vectorial \mathbb{C}^2, con las operaciones usuales y el producto interno \langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2, determine la matriz de Gram de \mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}.
b. Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:

i. Si V es un espacio vectorial real, entonces M_{\mathcal{A}} es una matriz simétrica.
ii. Si \mathcal{A} es una lista de vectores ortogonales, entonces su matriz de Gram es diagonal.

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.

a. Si A y B son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces A y B son semejantes. V
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F
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b. Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si S=\{ v_1,v_2,v_3 \} es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces S es un conjunto linealmente independiente. V
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F
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c. Si T:V \longrightarrow W es una transformación lineal, U un subespacio de W, entonces H=\{ v\in V : T(v) \in U \} es un subespacio de V. V
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F
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d. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A es diagonalizable si y sólo si es simétrica. V
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F
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e. Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que x^2+4xy+y^2=9 corresponde a la ecuación de una elipse en el plano. V
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F
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