Categoría: Tercera evaluación

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 5

A continuación, se presentan dos enunciados que son verdaderos, seleccione uno de ellos y demuéstrelo.

a) Sea VV un espacio vectorial sobre un campo K\mathbb{K} y sea DD un subconjunto de VV linealmente independiente. Si v0∈Vv_0\in V es un elemento tal que v0∉gen(D)v_0\notin gen(D), entonces el conjunto D∪{v0}D\cup \{v_0\} es un conjunto linealmente independiente.
b) Sea (V,+,⋅)(V,+,\cdot) un espacio vectorial sobre un campo K\mathbb{K} de dimensión nn (finita) y T:V⟶VT:V\longrightarrow V una transformación lineal sobreyectiva. Si B={v1,v2,...,v3}B=\{ v_1,v_2,...,v_3 \} es una base de VV formada por vectores propios de TT, entonces la matriz asociada a TT en la base BB es diagonal.

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la aplicación T:M2(R)⟶M2(R)T:M_2(\mathbb{R}) \longrightarrow M_2(\mathbb{R}), sobre el espacio de las matrices cuadradas de orden dos, definida por T(A)=A−traza(A)2I2T(A)=A-\frac{traza(A)}{2} I_2 (I2I_2: Matriz identidad de orden dos).

a) Verifique que TT es lineal.
b) Determine el núcleo e imagen de TT.
c) Determine la nulidad y el rango de TT.
d) Indique si TT es un isomorfismo.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea AA una matriz cuadrada de orden tres con entradas reales y cuyos subespacios propios sonEλ1={(xyz)∈R3 : x−y+z=0}Eλ2={(xyz)∈R3 : −x−y+z=0−2y=0}\begin{aligned} E_{\lambda_1}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} x-y+z&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix}\\ \\ E_{\lambda_2}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} -x-y+z&=0 \\ -2y&=0\end{aligned} \end{Bmatrix}\end{aligned}Determine:

a) Una base para Eλ1E_{\lambda_1}.
b) Una base para Eλ2E_{\lambda_2}.
c) Si la matriz AA es diagonalizable.
d) Si la matriz AA es diagonalizable ortogonalmente.
e) El complemento ortogonal de Eλ2E_{\lambda_2}, considerando en R3\mathbb{R}^3 el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Considere el espacio vectorial real P2(R)\mathcal{P}_2(\mathbb{R}) de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficiente reales. Se define el producto interno en P2(R)\mathcal{P}_2(\mathbb{R}) por ⟨p∣q⟩=a1a2+3b1b2+2c1c2\langle p | q \rangle = a_1a_2+3b_1b_2+2c_1c_2, donde p(x)=a1+b1x+c1x2 p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2 y q(x)=a2+b2x+c2x2q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2.

a) Determine si los polinomios p(x)=1+xp(x)=1+x y q(x)=x2−xq(x)=x^2-x son ortogonales respecto a este producto interno.
b) Calcule la proyección ortogonal del polinomio p(x)=1+x+x2p(x)=1+x+x^2 sobre el polinomio q(x)=1+xq(x)=1+x.
c) Verifique que B={1,x+1,x2−1}B=\{ 1,x+1,x^2-1 \} es una base de P2(R)\mathcal{P}_2(\mathbb{R}).
d) Halle la matriz cambio de base, de la base canónica a la base BB (mencionada en el literal c).

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación, se encuentran diez afirmaciones, indique cuáles de ellas son verdaderas rellenando el correspondiente círculo adjunto. Cada dos elecciones incorrectas eliminan una elección correcta

a. Si (V,+,⋅)(V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo K\mathbb{K} y v∈Vv\in V, entonces el subconjunto S={λv:λ∈K}S=\{ \lambda v : \lambda \in \mathbb{K} \} es un subespacio vectorial de VV. ◯\bigcirc
b. Si (V,+,⋅)(V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo K\mathbb{K} se dice que el conjunto B={v1,v2,...,vn}B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de VV si todo v∈Vv\in V puede expresarse como combinación lineal de los elementos de BB. ◯\bigcirc
c. Sean u1u_1 y u2u_2 dos vectores propios de la matriz AA asociados al autovalor λ\lambda , entonces u1u_1 y u2u_2 deben ser linealmente independientes. ◯\bigcirc
d. Si T:V⟶WT:V\longrightarrow W es una transformación lineal sobreyectiva, entonces VV y WW deben tener la misma dimensión. ◯\bigcirc
e. El número de columnas linealmente independientes de una matriz es igual al número de filas (o renglones) linealmente independientes de la matriz. ◯\bigcirc
f. Sean UU y VV espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo K\mathbb{K}. Si B={v1,v2,v3}B=\{ v_1,v_2,v_3 \} es una base de VV y u1,u2∈Uu_1,u_2\in U, entonces existe una única transformación lineal T:V⟶UT:V\longrightarrow U tal que T(v1)=u1T(v_1)=u_1, T(v2)=u2T(v_2)=u_2 y T(v3)=0UT(v_3)=0_U. ◯\bigcirc
g. Si SS es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio vectorial VV, sobre el que se ha definido un producto interno, entonces SS es un conjunto linealmente independiente en SS. ◯\bigcirc
h. Las columnas de una matriz cuadrada invertible AA de orden nn forman una base de Rn\mathbb{R}^n. ◯\bigcirc
i. Si AA es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales. ◯\bigcirc
j. Sea AA una matriz cuadrada de orden 55, con valores propios diferentes λ1\lambda_1 y λ2\lambda_2, entonces AA es diagonalizable si y sólo si dim(Eλ1)+dim(Eλ2)=5dim(E_{\lambda_1}) + dim(E_{\lambda_2})=5, donde EλiE_{\lambda_i} denota el espacio propio asociado a λi\lambda_i tal que i=1,2i=1,2. ◯\bigcirc