Categoría: Tercera evaluación

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 5

A continuación, se presentan dos enunciados que son verdaderos, seleccione uno de ellos y demuéstrelo.

a) Sea V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y sea D un subconjunto de V linealmente independiente. Si v_0\in V es un elemento tal que v_0\notin gen(D), entonces el conjunto D\cup \{v_0\} es un conjunto linealmente independiente.
b) Sea (V,+,\cdot) un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} de dimensión n (finita) y T:V\longrightarrow V una transformación lineal sobreyectiva. Si B=\{ v_1,v_2,...,v_3 \} es una base de V formada por vectores propios de T, entonces la matriz asociada a T en la base B es diagonal.

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la aplicación T:M_2(\mathbb{R}) \longrightarrow M_2(\mathbb{R}), sobre el espacio de las matrices cuadradas de orden dos, definida por T(A)=A-\frac{traza(A)}{2} I_2 (I_2: Matriz identidad de orden dos).

a) Verifique que T es lineal.
b) Determine el núcleo e imagen de T.
c) Determine la nulidad y el rango de T.
d) Indique si T es un isomorfismo.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea A una matriz cuadrada de orden tres con entradas reales y cuyos subespacios propios son\begin{aligned} E_{\lambda_1}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} x-y+z&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix}\\ \\ E_{\lambda_2}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} -x-y+z&=0 \\ -2y&=0\end{aligned} \end{Bmatrix}\end{aligned}Determine:

a) Una base para E_{\lambda_1}.
b) Una base para E_{\lambda_2}.
c) Si la matriz A es diagonalizable.
d) Si la matriz A es diagonalizable ortogonalmente.
e) El complemento ortogonal de E_{\lambda_2}, considerando en \mathbb{R}^3 el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Considere el espacio vectorial real \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficiente reales. Se define el producto interno en \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) por \langle p | q \rangle = a_1a_2+3b_1b_2+2c_1c_2, donde p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2 y q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2.

a) Determine si los polinomios p(x)=1+x y q(x)=x^2-x son ortogonales respecto a este producto interno.
b) Calcule la proyección ortogonal del polinomio p(x)=1+x+x^2 sobre el polinomio q(x)=1+x.
c) Verifique que B=\{ 1,x+1,x^2-1 \} es una base de \mathcal{P}_2(\mathbb{R}).
d) Halle la matriz cambio de base, de la base canónica a la base B (mencionada en el literal c).

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación, se encuentran diez afirmaciones, indique cuáles de ellas son verdaderas rellenando el correspondiente círculo adjunto. Cada dos elecciones incorrectas eliminan una elección correcta

a. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y v\in V, entonces el subconjunto S=\{ \lambda v : \lambda \in \mathbb{K} \} es un subespacio vectorial de V. \bigcirc
b. Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} se dice que el conjunto B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V si todo v\in V puede expresarse como combinación lineal de los elementos de B. \bigcirc
c. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A asociados al autovalor \lambda , entonces u_1 y u_2 deben ser linealmente independientes. \bigcirc
d. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal sobreyectiva, entonces V y W deben tener la misma dimensión. \bigcirc
e. El número de columnas linealmente independientes de una matriz es igual al número de filas (o renglones) linealmente independientes de la matriz. \bigcirc
f. Sean U y V espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ v_1,v_2,v_3 \} es una base de V y u_1,u_2\in U, entonces existe una única transformación lineal T:V\longrightarrow U tal que T(v_1)=u_1, T(v_2)=u_2 y T(v_3)=0_U. \bigcirc
g. Si S es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio vectorial V, sobre el que se ha definido un producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en S. \bigcirc
h. Las columnas de una matriz cuadrada invertible A de orden n forman una base de \mathbb{R}^n. \bigcirc
i. Si A es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales. \bigcirc
j. Sea A una matriz cuadrada de orden 5, con valores propios diferentes \lambda_1 y \lambda_2, entonces A es diagonalizable si y sólo si dim(E_{\lambda_1}) + dim(E_{\lambda_2})=5, donde E_{\lambda_i} denota el espacio propio asociado a \lambda_i tal que i=1,2. \bigcirc