cl2-05. Independencia Lineal

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Definición. Sean v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}, n vectores en un espacio vectorial V; entonces, se dice que esos vectores son linealmente dependientes si existen escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n, no todos cero, tales que\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n=ndonde n es el neutro del espacio vectorial.

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo. Sea \wp_1 el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a 1. Determine si \left\{x+1,3x+2,4-x\right\} es un conjunto de vectores linealmente independiente.

Solución. Si \left\{x+1,3x+2,4-x\right\} es un conjunto de vectores linealmente independientes, se tiene que\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=n \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0de donde\alpha_1 (x+1)+\alpha_2 (3x+2)+\alpha_3 (4-x)=0x+0Se plantea el sistema de ecuaciones lineales asociado\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&3\alpha_2&-&\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1&+&2\alpha_2&+&4\alpha_3&=&0 \end{array}\right.Al resolver el sistema se obtiene\alpha_1=-14\alpha_3 \qquad \wedge \qquad \alpha_2=5\alpha_3donde \alpha_3 puede tomar cualquier valor o número real distinto de cero.

Por consiguiente, \left\{v_1,v_2,v_3\right\} no constituye un conjunto de vectores linealmente independientes; es decir, los vectores v_1,v_2 y v_3 son linealmente dependientes.

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Referencias Bibliográficas