cl2-06. Bases y Dimensiones

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Definición. Se denomina base de un espacio vectorial V a un subconjunto finito de vectores \small{A=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}}, si y solo si, A es linealmente independiente y es un conjunto generador de V.

Observación. Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendrán el mismo número de vectores.

Ejemplo. Sean \small{f(x)=x^2+1}, \small{g(x)=3x-1} y \small{h(x)=-4x+1}, demuestre que \small{H=\left\{f,g,h\right\}} es una base para el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, \mathcal{P}_2.

Solución. Primero se prueba el criterio de independencia lineal, por lo que se plantea la siguiente igualdad\begin{array}{rcl}\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& n \\ \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& 0x^2+0x+0\\ \alpha_1 (x^2+1)+\alpha_2 (3x-1)+\alpha_3 (-4x+1) &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+\alpha_1 + 3\alpha_2 x - \alpha_2 - 4\alpha_3 x + \alpha_3 &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+(3\alpha_2 - 4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) &=& 0x^2+0x+0\end{array}Esto implica que\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1 &=&0 \\ 3\alpha_2 -4\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 &=&0 \end{array}\right.Al resolver el sistema se tiene que éste tiene solución única y esta dada por \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0; es decir, la igualdad \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x)=0 se cunple solo si \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3. Por tanto, el conjunto \small{H=\left\{f,g,h\right\}} es linealmente independiente en \wp_2.

Ahora se verifica que el conjunto H genere a todo \wp_2. Para esto, se considera p(x)=ax^2 +bx+c y escalares \alpha_1, \alpha_2 y \alpha_3 tales que \begin{array}{rcl}p(x)&=&\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) \\ &=&\alpha_1 x^2+(3\alpha_2 -4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) \end{array}Lo cual genera el sistema\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1&=&a \\ 3\alpha_2-4\alpha_3&=&b \\\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3&=&c \end{array}\right.Al analizar el sistema, se tiene que siempre tiene solución pues la matriz adjunta del mismo es (A|B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&b\\ 1 & -1 & 1&c \end{array}\right)que en forma escalonada reducida es(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&4a-b-4c\\ 1 & -1 & 1&3a-b-3c \end{array}\right)Entonces \rho(A|B)=\rho(A)=3. Luego como el sistema siempre tiene solución, independientemente de los valores de a, b y c se concluye que el sistema es consistente; además, su única solución es \alpha_1=a, \alpha_2=4a-b-4c y \alpha_3=3a-b-3c. En consecuencia, cualquier polinomio p(x)=ax^2 +bx+c en \wp_2 puede ser expresado como combinación lineal de los polinomios \small{f(x)=x^2+1}, \small{g(x)=3x-1} y \small{h(x)=-4x+1}, es decir, \small{\wp_2=gen\left\{f,g,h\right\}}.

Por consiguiente, dado que H es linealmente independiente y es un conjunto generador de los polinomios de grado menor o igual a dos, entonces H es una base para \wp_2.

 

Definición. Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V=\left \{ 0_V\right\} (neutro del espacio), entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dim\ V.

La dimensión de algunos espacios vectoriales (sin restricciones) pueden determinarse conforme a la siguientes regla:\begin{array}{rcl}dim\ \mathbb{R^n}&=&n \\ dim\ \wp_n&=&n+1\\ dim\ \mathbb{M_{m\times n}}&=&m\times n\end{array}

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Referencias Bibliográficas