cl4-03. Ortogonalidad, ortonormalidad y proyecciones

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Ortogonalidad y ortonormalidad.

Definición. Sea V un espacio vectorial euclidiano, y sean u,v\in V. Se dice que los vectores u y v son ortogonales si y solo si \left\langle u,v \right\rangle =0

Teorema. Sea V un espacio vectorial euclidiano, el vector neutro {0}_{v}\in V es ortogonal a todos los vectores del espacio V.

Definición. Sea V un espacio vectorial euclidiano. Sea el conjunto S=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},\cdots {{v}_{n}} \right\}\subseteq V. Se dice que S es un conjunto ortogonal si y solo si \left\langle {{v}_{i}},{{v}_{j}} \right\rangle =\left\{ \begin{array}{rr} 0, & i\ne j \\ {{\left\| {{v}_{i}} \right\|}^{2}}, & i=j \end{array} \right.

Definición. Sea V un espacio vectorial euclidiano. Sea el conjunto S=\left\{ {{u}_{1}},{{u}_{2}},\cdots {{u}_{n}} \right\}\subseteq V. Se dice que S es un conjunto ortonormal si y solo si \left\langle {{v}_{i}},{{v}_{j}} \right\rangle =\left\{ \begin{array}{rr} 0, & i\ne j \\ 1, & i=j \end{array} \right.

De acuerdo a las definiciones, se observa que un conjunto ortogonal contiene vectores perpendiculares entre sí, por lo cual el vector neutro puede estar contenido en ellos. Por otra parte, un conjunto ortonormal contiene vectores perpendiculares entre sí y con norma unitaria; esta condición excluye la posibilidad que el neutro pertenezca al conjunto. Todo conjunto ortonormal es ortogonal, pero no todo conjunto ortogonal es ortonormal.

Teorema. Sea V un espacio vectorial euclidiano, y sea S \subseteq V tal que S no contiene al neutro. Se cumple que si S es ortogonal, entonces S es linealmente independiente.

Este teorema indica que, con excepción hecha para el vector neutro, la condición de ortogonalidad es más fuerte que la condición de independencia lineal. Si el conjunto no contiene al neutro, la condición de ortogonalidad garantiza automáticamente la independencia lineal.

Corolario. Sea V un espacio vectorial euclidiano. Todo conjunto ortonomal S \subseteq V es también linealmente independiente.

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Proyección escalar y vectorial.

Definición. Sea V un espacio vectorial euclidiano, y sean u,v\in V. donde v\ne {{\mathbf{0}}_{v}}. Se define la proyección escalar del vector u sobre el vector v como: Pro{{y}_{v}}u=\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\left\| v \right\|}

Definición. Sea V un espacio vectorial euclidiano, y sean u,v\in V, donde v\ne {{\mathbf{0}}_{v}}. Se define la proyección vectorial del vector u sobre el vector v como: {{\vec{\mathop{Proy}}\,}_{v}}u=\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\left\| v \right\|}\odot \frac{v}{\left\| v \right\|}=\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{{{\left\| v \right\|}^{2}}}\odot v

Estas definiciones son análogas a las proyecciones definidas en {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{n}} mediante el producto punto. Mediante el producto interno, se puede generalizar la definición a cualquier espacio vectorial euclidiano.

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Referencias Bibliográficas