1.2.1 Máximo en intervalo-Ejercicio

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejercicio 3a p15, pdf 25; Burden 9Ed p15

Demuestre que f'(x) se anula al menos una vez en los intervalos dados.

f(x) = 1 - e^{x} + (e-1)sen \Big( \frac{\pi}{2}x \Big)

intervalo [0,1]


1. Desarrollo analítico

Se usa el «teorema de Rolle«, si los extremos del intervalo son iguales, existe un punto intermedio c en el que la derivada es cero, en donde la función tiene un máximo.

f(0) = 1 - e^{0} + (e-1)sen(\frac{\pi}{2}0) = = 1 - 1 + (e-1)(0) = 0 f(1) = 1 - e^{1} + (e-1)sen(\frac{\pi}{2}1) = = 1 - e + (e-1)(1) = 0 f(0) = f(1)

por el teorema, debe existir un máximo, o existe un c tal que f'(c) = 0.


2. Desarrollo numérico y gráfico

Para encontrar el máximo, se evalúa en los extremos, se aplica Rolle y como comprobación se muestra la gráfica.

Puntos en extremos de intervalo
(xi,fi)
0 0.0
1 0.0


Las instrucciones para obtener el resultado con Python son:

# Burden Capítulo 1.1 Ejercicio 3a p15, pdf 25
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

funcionx = lambda x: 1 - np.exp(x) + (np.exp(1)-1)*np.sin((np.pi/2)*x)

# INGRESO
a = 0
b = 1
muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
fa = funcionx(a)
fb = funcionx(b)

xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = funcionx(xi)

# SALIDA
print('Puntos en extremos de intervalo')
print('(xi,fi)')
print(a,fa)
print(b,fb)

# GRAFICA
plt.plot(xi,fi)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.axhline(0,color='g')
plt.show()

añada las instrucciones para encontrar el punto donde f'(x) pasa por cero, que es donde existe el máximo. use como referencia:

http://blog.espol.edu.ec/matg1013/1-2-maximo-en-intervalo-ejemplo01/