1.2 Máximo en intervalo-Ejemplo01

Referencia: Burden 7Ed capítulo 1.1-ejemplo 1 p6, pdf16; Burden 9Ed  p5

Sea:

f(x) = 5 \cos(2x) - 2x \sin(2x)

Determine el valor máximo de |f(x)|  en los intervalos:

  • [1, 2]
  • [0.5, 1]

Desarrollo

Existen dos opciones, la analítica y la numérica.

1. Solución analítica

Se determina la derivada de f(x) y se determina el valor de x cuando f'(x) vale cero.

f(x) = 5 \cos(2x) - 2x \sin(2x) f'(x) = 5 (- 2 \sin(2x)) - [2x (2 \cos(2x)) + 2 \sin(2x) ] f'(x) = - 12 \sin(2x) - 4x \cos(2x)

f'(x) en el rango [1,2] toma el valor de cero en:

0 = - 12 \sin(2x) - 4x \cos(2x)

y requiere un poco de trabajo para encontrar el punto buscado…

2. Solución numérica

Otra forma es determinar el valor usando un método numérico, cuya precisión dependerá de la cantidad de muestras que se utilicen en la evaluación.

Para observar la función, se obtiene la gráfica en el rango [0.5, 2]

# Burden capítulo 1.1-ejemplo 1 p6, pdf16
# Determine el maximo entre [a,b] para fx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: 5*np.cos(2*x)-2*x*np.sin(2*x)
a = 0.5
b = 2
muestras = 1001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)

fiabs = np.abs(fi)
donde = np.argmax(fiabs)

# SALIDA
print('el máximo se encuentra en: ', xi[donde])
print('con el valor f(x): ', fiabs[donde])

# GRAFICA
plt.plot(xi,fi, label='f(x)')
plt.plot(xi,fiabs, label='|f(x)|')
plt.axhline(y=0, color='g')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('fx')
plt.legend()
plt.title('f(x) y |f(x)|')
plt.show()

La gráfica permite estimar las intersecciones con los ejes y extremos de las funciones.

el máximo se encuentra en: 1.358
con el valor f(x) de: 5.67530054527

El valor máximo de |fx| en magnitud se cumple cuando la derivada es cero en un punto del intervalo.


Puede revisar el tutorial de gráficas2D en la sección de recursos de estudio/resumen Python, o consultar en el sitio de matplotlib.org


Usando Scipy.Optimize

La libreria Scipy dispone de varios algoritmos de optimización que se desarrollarán durante el curso. La comprensión de cada uno de ellos permite una aplicación efectiva de los algoritmos para obtener el resultado buscado.

Por ejemplo, usando la derivada de la función y un punto de partida x0 donde se supone, intuye o cercano donde se pretende obtener, se busca cuándo su valor es mínimo con la instrucción fsolve() se obtiene:

[ 1.35822987]
>>>

 

xalor inicial de x0

las instrucciones del algoritmo son:

# Burden capítulo 1.1-ejemplo 1 p6, pdf16
# Determine el maximo entre [a,b] para fx
# Encontrar el máximo cuando f'(x) pasa por cero

import numpy as np
import scipy.optimize as opt

# INGRESO
fx = lambda x: 5*np.cos(2*x)-2*x*np.sin(2*x)
dfx = lambda x: -12*np.sin(2*x)-4*x*np.cos(2*x)
a = 0.5
b = 2
muestras = 1001
x0 = 1 # punto inicial de búsqueda

# PROCEDIMIENTO
dondemax  = opt.fsolve(dfx,x0)

# SALIDA
print(dondemax)

compare con los resultados anteriores.