8.2.1 Runge-Kutta 4to Orden dy/dx

Referencia: Chapra 25.3.3 p746 pdf 770, Rodriguez 9.1.8 p358

Para una ecuación diferencial de primer orden con una condición de inicio, la fórmula de Runge-Kutta de 4to orden se obtiene de la expresión con cinco términos:

y_{i+1} = y_i + aK_1 + bK_2 + cK_3 + dK_4

siendo:

y'(x) = f(x_i,y_i) y(x_0) = y_0

debe ser equivalente a la serie de Taylor de 5 términos:

y_{i+1} = y_i + h f(x_i,y_i) + + \frac{h^2}{2!} f'(x_i,y_i) + \frac{h^3}{3!} f''(x_i,y_i) + +\frac{h^4}{4!} f'''(x_i,y_i) + O(h^5) x_{i+1} = x_i + h

que usando aproximaciones de derivadas, se obtienen:

def rungekutta4(d1y,x0,y0,h,muestras):
    # Runge Kutta de 4do orden
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,2),dtype=float)
    
    # incluye el punto [x0,y0]
    estimado[0] = [x0,y0]
    xi = x0
    yi = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1 = h * d1y(xi,yi)
        K2 = h * d1y(xi+h/2, yi + K1/2)
        K3 = h * d1y(xi+h/2, yi + K2/2)
        K4 = h * d1y(xi+h, yi + K3)

        yi = yi + (1/6)*(K1+2*K2+2*K3 +K4)
        xi = xi + h
        
        estimado[i] = [xi,yi]
    return(estimado)

Note que el método de Runge-Kutta de 4to orden es similar a la regla de Simpson 1/3. La ecuación representa un promedio ponderado para establecer la mejor pendiente.