9.1 EDP Parabólicas

Referencia:  Chapra 30.2 p.888 pdf.912, Burden 9Ed p714, Rodriguez 10.2 p.406

Las Ecuaciones Diferenciales Parciales tipo parabólicas semejantes a la mostrada, representa la ecuación de calor para una barra aislada sometida a fuentes de calor en cada extremo.

La temperatura se representa en el ejercicio como u[x,t]

\frac{d ^2 u}{dx ^2} = K\frac{d u}{d t}

Para la solución numérica, se discretiza la ecuación usando diferencias finitas divididas que se sustituyen en la ecuación,

\frac{d^2 u}{dx^2} = \frac{u_{i+1,j} - 2 u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta X)^2} \frac{du}{dt} = \frac{u_{i,j+1} - u_{i,j} }{\Delta t}

con lo que la ecuación continua se convierte a discreta:

\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} = K\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}

Para interpretar mejor el resultado, se usa una malla que en cada nodo representa la temperatura como los valores u[xi,tj].
Para simplificar nomenclatura se usan los subíndices i para el eje de las x y j para el eje t, quedando u[ i , j ].

En el enunciado del problema habían establecido los valores en las fronteras:
– temperaturas en los extremos Ta, Tb
– la temperatura inicial de la barra T0,
– El parámetro para la barra K.

El resultado obtenido se interpreta como los valores de temperatura a lo largo de la barra luego de transcurrido un largo tiempo. Las temperaturas en los extremos de la barra varían entre Ta y Tb a lo largo del tiempo.

Tomando como referencia la malla, existirían algunas formas de plantear la solución, dependiendo de la diferencia finita usada: centrada, hacia adelante, hacia atrás.


Resultado en una animación con la variable tiempo:


Tarea: Revisar ecuación para difusión de gases, segunda ley de Fick.

La difusión molecular desde un punto de vista microscópico y macroscópico.