3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 4. (25 puntos) Una función f(x) en el intervalo [0,1] está definida por el trazador cúbico natural S(x):

S_0(x) = 1 + 1.1186x + 0.6938 x^3

 0.0 ≤ x ≤ 0.4

S_1(x) = 1.4918 + 1.4516(x-0.4) + c(x-0.4)^2 +d(x-0.4)^3

0.4 ≤ x ≤ 0.6

S_2(x) = 1.8221 + 1.8848(x-0.6) + +1.3336(x-0.6)^2 - 1.1113(x-0.6)^3

0.6 ≤ x ≤ 1.0

Sin embargo, el papel donde se registraron los polinomios sufrió un percance que no permite leer algunos valores para S1(x).

a) Realice las operaciones necesarias para encontrar os valores: c, d
b) Use el método de Newton para resolver la ecuación S(x) = 1.6

Rúbrica: plantear las condiciones(10 puntos), resolver el sistema (5 puntos), literal b (10 puntos)

s3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

Para visualizar la solución, se plantea graficar los polinomios que están completos S0(x) y S2(x).

S_0(x) = 1 + 1.1186x + 0.6938 x^3

 0.0 ≤ x ≤ 0.4

S_1(x) = 1.4918 + 1.4516(x-0.4) + c(x-0.4)^2 +d(x-0.4)^3

0.4 ≤ x ≤ 0.6

S_2(x) = 1.8221 + 1.8848(x-0.6) + +1.3336(x-0.6)^2 - 1.1113(x-0.6)^3

0.6 ≤ x ≤ 1.0

Como en trazadores cúbicos, lo que se usa es un polinomio por cada tramo muestreado para una curva contínua, etc. se tiene que los polinomios deben tener valores iguales en los puntos el eje x = 0.4 y 0.6

Por lo que se evalua con  los polinomios completos:

S_0(0.4) = 1 + 1.1186(0.4) + 0.6938 (0.4)^3 = 1.4918432 S_2(0.6) = 1.8221 + 1.8848(0.6-0.6) + +1.3336(0.6-0.6)^2-1.1113(0.6-0.6)^3=1.8221

Opción 1

Valores que se usan en los extremos del polinomio S1(x) para crear un sistema de dos ecuaciones y determinar los valores de c y d, completando el polinomio.

S_1(0.4) = 1.4918 + 1.4516(0.4-0.4) + c(0.4-0.4)^2 +d(0.4-0.4)^3

como los términos de c y d se hacen cero, hace falta una ecuación.

S_1(0.6) = 1.4918 + 1.4516(0.6-0.4) + + c(0.6-0.4)^2 +d(0.6-0.4)^3 = 1.8221 1.8221 = 1.4918 + 1.4516(0.2) + c(0.2)^2 +d(0.2)^3 0,03998 = 0.04c +0,008d

la otra ecuación se podría obtener usando la propiedad que las primeras derivadas de los polinomios deben ser iguales en los puntos x=0,4 y x= 0.6

S’0(0.2) =S’1(0.2)

Tarea: Desarrollar la siguiente ecuación y resolver


Opción 2

Si no recuerda la propiedad anterior, puede optar por usar otros conceptos para aproximar el resultado.

Si para el tramo en que se busca el polinomio se puede retroceder un tamaño de paso x = 0.2 y evualuar usando S0(0.2), se obtiene otropunto de referencia para crear un polinomio que pase por los mismos puntos.

S_0(0.2) = 1 + 1.1186*(0.2) + 0.6938 (0.2)^3

Se aplica lo mismo para un tamaño de paso más adelante de x = 0.6 es x = 0.8m se evalua S2(0.8) y se tienen suficientes puntos para usar cualquier método de interpolación y determinar el polinomio para el tramo faltante.

S_2(0.8) = 1.8221 + 1.8848(0.8-0.6) + +1.3336(0.8-0.6)^2 - 1.1113(0.8-0.6)^3
xi     = [0.        0.2        0.4      ]
S0(xi) = [1.        1.2292704  1.4918432]
xi     = [0.6       0.8        1.       ]
S2(xi) = [1.8221    2.2435136  2.7182728]

que permite hacer una tabla de puntos, y usando por ejemplo el método de interpolación de Lagrange  con x entre [0.2, 0.8] se obtiene otra forma del polinomio buscado:

p(x)=1.2292704 \frac{(x-0.4)(x-0.6)(x-0.8)}{(0.2-0.4)(0.2-0.6)(0.2-0.8)} + +1.4918432\frac{(x-0.2)(x-0.6)(x-0.8)}{0.4-0.2)(0.4-0.6)(0.4-0.8)}+ +1.8221\frac{(x-0.2)(x-0.4)(x-0.8)}{(0.6-0.2)(0.6-0.4)(0.6-0.8)} + + 2.2435136\frac{(x-0.2)(x-0.4)(x-0.6)}{(0.8-0.2)(0.8-0.4)(0.8-0.6)}

Tarea: continuar con el desarrollo


El literal b, requiere usar un metodo de búsqueda de raíces, para el cual se puede usar incluso bisección.

Tarea: continuar con el desarrollo

3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) Para valorar la preparación de terreno en una planta procesadora de Refinería, se requiere estimar el volumen de remoción.

Para una sección rectangular, se dispone de las alturas sobre el nivel del mar del terreno en una cuadrícula antes de los trabajos, siendo el nivel requerido de 220 m en toda el área.

Nivel inicio (m) 0 50 100 150 200
0 241 239 238 236 234
25 241 239 237 235 233
50 241 239 236 234 231
75 242 239 236 232 229
100 243 239 235 231 227

Usando los métodos de integración numérica determine el volumen de material para ésta actividad.

a) Determine el volumen de remoción
b) Exprese y determine el error de aproximación para el volumen

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

Referencias: Liquidar Refinería del Pacífico tardaría años. 27 de enero, 2020. www.eluniverso.com.
https://www.eluniverso.com/noticias/2020/01/27/nota/7710855/refineria-pacifico-liquidacion-rafael-correa-activos-ministerio
Inicia liquidación de la Refinería del Pacífico. 16-03-2019. vistazo.com.
https://www.vistazo.com/seccion/politica-nacional/inicia-liquidacion-de-la-refineria-del-pacifico

 

s3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

Se requiere usar el nivel inicial en la matriz, para restar del nivel requerido que es constante 220

Nivel inicio (m) 0 50 100 150 200
0 241 239 238 236 234
25 241 239 237 235 233
50 241 239 236 234 231
75 242 239 236 232 229
100 243 239 235 231 227

lo que genera la matriz de diferencias. El valor es positivo indica remoción, el valor negativo indica por rellenar.

Diferencia (m) 0 50 100 150 200
0 21 19 18 16 14
25 21 19 17 15 13
50 21 19 16 14 11
75 22 19 16 12 9
100 23 19 15 11 7

El volumen se puede calcular por un método en cada fila, y luego los resultados por columnas por otro método o el mismo.
Por ejemplo Simpson de 1/3

I= \frac{hx}{3}(f(x_0) +4f(x_1)+f(x_2))

con lo que se obtiene:

I_{fila}(0) = \frac{50}{3}(21 +4(19)+18) +\frac{50}{3}(18 +4(16)+14) =24750 I_{fila}(25) = = \frac{50}{3}(21 +4(19)+17) + \frac{50}{3}(17 +4(15)+13) = 23383,33 I_{fila}(50) = \frac{50}{3}(21 +4(19)+16) + \frac{50}{3}(16 +4(14)+11) = 22000 I_{fila}(75) = \frac{50}{3}(22 +4(19)+16) + \frac{50}{3}(16 +4(12)+5) =21850 I_{fila}(100) = \frac{50}{3}(23 +4(19)+15) + \frac{50}{3}(15 +4(11)+7) = 20483,33

y usando el otro eje, se completa el volumen usando dos veces simpson:

Volumen = \frac{h_y}{3}(f(x_0) +4f(x_1)+f(x_2)) Remover = \frac{25}{3}(24750 +4(23383,33)+22000) + + \frac{25}{3}(22000 +4(21850)+20483,33)=2251388,89

El signo lo trae desde la diferencia, y muestra el sentido del desnivel.

Se adjunta la gráfica de superficie en azul como referencia del signo,  respecto al nivel requerido en color verde.

Error de truncamiento

la cota del error de truncamiento se estima como O(h5)

error_{trunca} = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(z)

para un valor de z entre [a,b]

para cuantificar el valor, se puede usar la diferencia finita Δ4f, pues con la derivada sería muy laborioso.

3Eva_IIT2019_T2 Diferenciación, valor en frontera

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 2. (25 Puntos)) Aproxime la solución del problema de valor de frontera para la ecuación mostrada, usando diferenciación numérica con h = 1/4

y'' = -(x+1)y' + 2y + (1-x^2) e^{-x}

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = -1
y(1) = 0

a) Plantee las derivadas en diferencias divididas
b) Formule y simplifique la ecuación de diferencias divididas para el problema para cada punto interno de la tabla
c) Presente la forma matricial del sistema de ecuaciones
d) Encuentre los valores intermedios de y(xi) en la tabla, i = 1, 2, 3
e) Estime el error

i 0 1 2 3 4
xi 0 1/4 1/2 3/4 1
yi -1 0

Rúbrica: Plantear las derivadas (5 puntos), plantear la ecuación en forma discreta (5 puntos), matriz del sistema de ecuaciones (5 puntos), estimar el error (5 puntos)

3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 1. (25 Puntos)
En el lanzamiento de un cohete se midieron las alturas alcanzadas a intervalos regulares de tiempo, mostradas en la siguiente tabla:

t s 0 25 50 75 100 125
y(t) Km 0 32 58 78 92 100

Usando tres puntos, se requiere obtener el polinomio de grado 2 que describe la función de altura y(t) a partir de los datos obtenidos, usando interpolación

a) Realice la tabla de diferencias finitas
b) Plantee el polinomio de interpolación con diferencias finitas avanzadas
c) A partir del polinomio obtenido, escriba las funciones de velocidad y’(t)
y aceleración y’’(t) en cada punto de la tabla

Rúbrica: literal a (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c (15 puntos)

Referencias: Batalla por la luna, el programa Apolo.History Latinoamérica

s3Eva_IIT2019_T2 Diferenciación, valor en frontera

La ecuación de problema de valor de frontera, con h = 1/4 = 0.25:

y'' = -(x+1)y' + 2y + (1-x^2) e^{-x}

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = -1
y(1) = 0

Se interpreta en la tabla como los valores que faltan por encontrar:

i 0 1 2 3 4
xi 0 1/4 1/2 3/4 1
yi -1 0

Por ejemplo, se usan las derivadas en diferencias finitas divididas centradas para segunda derivada y hacia adelante para primera derivada.

Semejante al procedimiento aplicado para métodos con EDO.

f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_{i})+f(x_{i-1})}{h^2} + O(h^2) f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h} + O(h)

Se formula entonces la ecuación en forma discreta, usando solo los índices para los puntos yi:

\frac{y[i+1]-2y[i]+y[i-1]}{h^2} = -(x_i +1) \frac{y[i+1]-y[i]}{h} + 2y[i] + (1-x_i ^2) e^{-x_i}

se multiplica todo por h2

y[i+1]-2y[i]+y[i-1] = -h(x_i +1)(y[i+1]-y[i]) + + 2 h^2 y[i] + h^2 (1-x_i ^2) e^{-x_i}
y[i+1]-2y[i]+y[i-1] = -h(x_i +1)y[i+1] + + h(x_i +1)y[i] + 2 h^2 y[i] + h^2 (1-x_i ^2) e^{-x_i}
y[i+1](1 +h(x_i +1)) + y[i](-2 - h(x_i +1)-2 h^2)+y[i-1] = = h^2 (1-x_i ^2) e^{-x_i}

Ecuación que se aplica en cada uno de los puntos desconocidos con i =1,2,3


i = 1

y[2](1 +h(x_1 +1)) + y[1](-2 - h(x_1 +1)-2 h^2)+y[0] = = h^2 (1-x_1 ^2) e^{-x_1} y[2]\Big(1 +\frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4} +1\Big)\Big) + y[1]\Big(-2 - \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{4} +1\Big)-2 \Big(\frac{1}{4}\Big)^2\Big) -1 = = \Big(\frac{1}{4}\Big)^2 \Big(1-\Big(\frac{1}{4}\Big) ^2\Big) e^{-1/4} y[2]\Big(1 +\frac{5}{16} \Big) + y[1]\Big(-2 - \frac{5}{16}- \frac{2}{16}\Big) = = 1+ \frac{1}{16} \Big(1-\frac{1}{16}\Big) e^{-1/4} \frac{21}{16} y[2]- \frac{39}{16}y[1] = 1+ \frac{15}{16^2} e^{-1/4} - \frac{39}{16}y[1] + \frac{21}{16} y[2] = 1+ \frac{15}{16^2} e^{-1/4}

multiplicando ambos lados de la ecuacion por 16 y reordenando

- 39 y[1] + 21 y[2] = 16+ \frac{15}{16} e^{-1/4}

i = 2

y[3](1 +h(x_2 +1)) + y[2](-2 - h(x_2 +1)-2 h^2)+y[1] = = h^2 (1-x_2 ^2) e^{-x_2} y[3]\Big(1 +\frac{1}{4}\Big(\frac{1}{2} +1\Big)\Big) + y[2]\Big(-2 - \frac{1}{4}\Big(\frac{1}{2} +1\Big)-2 \Big(\frac{1}{4}\Big)^2\Big)+y[1] = = \Big(\frac{1}{4}\Big)^2 \Big(1-\Big(\frac{1}{2}\Big) ^2\Big) e^{-\frac{1}{2}} y[3]\Big(1 +\frac{3}{8}\Big) + y[2]\Big(-2 - \frac{1}{4}\Big(\frac{3}{2}\Big)- \frac{1}{8}\Big)+y[1] = = \Big(\frac{1}{16}\Big) \Big(1-\frac{1}{4}\Big) e^{-\frac{1}{2}} \frac{11}{8} y[3] - \frac{21}{8} y[2]+y[1] = \frac{1}{16} \Big(\frac{3}{4}\Big) e^{-\frac{1}{2}}

multiplicando ambos lados por 8 y reordenando,

8y[1] - 21 y[2] + 11 y[3] = \frac{3}{8} e^{-\frac{1}{2}}

i = 3

y[4](1 +h(x_3 +1)) + y[3](-2 - h(x_3 +1)-2 h^2)+y[2] = = h^2 (1-x_3 ^2) e^{-x_3} (0) \Big(1 +h\Big(x_3 +1\Big)\Big) + y[3]\Big(-2 - \frac{1}{4}\Big(\frac{3}{4} +1\Big)-2 \frac{1}{16}\Big)+y[2] = = \frac{1}{16}\Big (1-\Big(\frac{3}{4}\Big) ^2 \Big) e^{-3/4} y[3]\Big(-2 - \frac{7}{16} - \frac{2}{16})+y[2] = \frac{1}{16}\Big (1-\frac{9}{16}\Big) e^{-3/4}

multiplicando todo por 16 y reordenando:

16 y[2] - 41 y[3] = \frac{7}{16} e^{-3/4}

Con lo que se puede crear la forma matricial del sistema de ecuaciones Ax=B

\begin{bmatrix} -39 && 21 && 0\\8 && 21 && 11 \\ 0 && 16 && 41 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y[1]\\ y[2] \\y[3] \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 16+ \frac{15}{16} e^{-1/4} \\ \frac{3}{8} e^{-\frac{1}{2}} \\ \frac{7}{16} e^{-3/4} \end{bmatrix}

con lo que resolviendo la matriz se obtienen los valroes para y[1], y[2], y[3]

solución de matriz: 
[-0.59029143 -0.29958287 -0.12195088]

con lo que se completan los puntos de la tabla,

Solución de ecuación
x[i] =  [ 0.   0.25        0.5         0.75        1.  ]
y[i] =  [-1.  -0.59029143 -0.29958287 -0.12195088  0.  ]

con la siguiente gráfica:


Algoritmo para solución de matriz con Python

tarea: modificar para cambiar el valor del tamaño de paso.

# Problema de Frontera
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO

h = 1/4
y0 = -1
y1 = 0

xi = np.arange(0,1+h,h)
n = len(xi)
yi = np.zeros(n,dtype=float)
yi[0] = y0
yi[n-1] = y1
    
A = np.array([[-39.0, 21,  0],
              [  8.0, -21, 11],
              [  0.0, 16, -41]])
B = np.array([16+(15/16)*np.exp(-1/4),
              (3/8)*np.exp(-1/2),
              (7/16)*np.exp(-3/4)])

# PROCEDIMIENTO
x = np.linalg.solve(A,B)

for i in range(1,n-1,1):
    yi[i] = x[i-1]

# SALIDA
print('solución de matriz: ')
print(x)
print('Solución de ecuación')
print('x[i] = ',xi)
print('y[i] = ',yi)

# Grafica
plt.plot(xi,yi,'ro')
plt.plot(xi,yi)
plt.show()

s3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

A partir de la tabla del enunciado  se realiza la tabla de diferencias finitas.

i ti fi Δfi Δ2fi Δ3fi Δ4fi Δ5fi
1 0 0 32 -6 0 0 0
2 25 32 26 -6 0 0
3 50 58 20 -6 0
4 75 78 14 -6
5 100 92 8
6 125 100

Observando que a partir de la tercera diferencia finita  los valores son cero, por lo que se usa la fórmula general de diferencias finitas divididas hasta el polinomio de grado 2.

p_2 (x) = f_0 + \frac{\Delta f_0}{h} (x - x_0) + + \frac{\Delta^2 f_0}{2!h^2} (x - x_0)(x - x_1)

al sustituir los valores conocidos, se convierte en,

p_2 (t) =0 + \frac{32}{25} (t -0) + + \frac{-6}{2(25)^2} (t -0)(t - 25) =\frac{32}{25}t + \frac{-3}{(25)^2} (t^2 - 25t) =\frac{32}{25}t + \frac{-3}{(25)^2} t^2 - \frac{-3}{(25)^2}25t =\frac{7}{5}t - \frac{3}{625} t^2 y(t) =p_2 (t) =1.4 t - 0.0048 t^2

Con lo que se puede obtener la velocidad:

y'(t) = 1.4 - 0.0096 t

y luego la aceleración:

y'(t) = - 0.0096

Si el error es el próximo término del polinomio Δ3fi  entonces se estima en cero.

Tarea:  Evaluar la velocidad y aceleración para cada punto de la tabla

La gráfica del polinomio encontrado es:

Algoritmo en Python

El algoritmo realizado en Python entrega los siguientes resultados:

[[  i,  ti,  fi, df1, df2, df3, df4, df5,  df6]]
[[  1.   0.   0.  32.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  2.  25.  32.  26.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  3.  50.  58.  20.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  4.  75.  78.  14.  -6.   0.   0.   0.   0.]
 [  5. 100.  92.   8.   0.   0.   0.   0.   0.]
 [  6. 125. 100.   0.   0.   0.   0.   0.   0.]]
polinomio:
-0.0048*t**2 + 1.4*t

las instrucciones en Python son:

# Diferencias finitas avanzadas para polinomio interpolación
# http://blog.espol.edu.ec/matg1013/5-1-1-diferencias-finitas-avanzadas-polinomio/
# Referencia Rodriguez 6.6.4 Pdf.221
# Tarea: Verificar tamaño de vectores
#        considerar puntos no equidistantes en eje t
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

# INGRESO , Datos de prueba
ti = np.array([0.0, 25, 50, 75, 100, 125])
fi = np.array([0.0, 32, 58, 78, 92, 100])

# PROCEDIMIENTO
# Tabla de diferencias finitas
titulo = ['i','ti','fi']
n = len(ti)
# cambia a forma de columnas
i = np.arange(1,n+1,1)
i = np.transpose([i])
ti = np.transpose([ti])
fi = np.transpose([fi])
# Añade matriz de diferencias
dfinita = np.zeros(shape=(n,n),dtype=float)
tabla = np.concatenate((i,ti,fi,dfinita), axis=1)
# Sobre matriz de diferencias, por columnas
[n,m] = np.shape(tabla)
c = 3
diagonal = n-1
while (c<m):
    # Aumenta el título para cada columna
    titulo.append('df'+str(c-2))
    # calcula cada diferencia por fila
    f = 0
    while (f < diagonal):
        tabla[f,c] = tabla[f+1,c-1]-tabla[f,c-1]
        f = f+1
    
    diagonal = diagonal - 1
    c = c+1

# POLINOMIO con diferencias finitas
# caso: puntos en eje t equidistantes
dfinita = tabla[:,3:]
n = len(dfinita)
t = sym.Symbol('t')
h = ti[1,0]-ti[0,0]
polinomio = fi[0,0]
for c in range(1,n,1):
    denominador = np.math.factorial(c)*(h**c)
    factor = dfinita[0,c-1]/denominador
    termino=1
    for f  in range(0,c,1):
        termino = termino*(t-ti[f])
    polinomio = polinomio + termino*factor
# simplifica polinomio, multiplica los (t-ti)
polinomio = polinomio.expand()
# para evaluacion numérica
pt = sym.lambdify(t,polinomio)

# Puntos para la gráfica
a = np.min(ti)
b = np.max(ti)
muestras = 101
ti_p = np.linspace(a,b,muestras)
fi_p = pt(ti_p)

# SALIDA
print([titulo])
print(tabla)
print('polinomio:')
print(polinomio)

# Gráfica
plt.title('Interpolación polinómica')
plt.plot(ti,fi,'o', label = 'Puntos')
plt.plot(ti_p,fi_p, label = 'Polinomio')
plt.legend()
plt.show()

2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

2da Evaluación II Término 2019-2020. 28/Enero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 Puntos) Considere la función f con regla de correspondencia:

f(x) = x ln(x)

Se desea aproximar el valor del integral I en el intervalo [1,4]

I = \int_a^b f(x) dx

a) Use el método de Cuadratura de Gauss con 2 términos para aproximar el valor de I en el intervalo [1,4]

Usando el método compuesto de Simpson:

I = I_s - \frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)} (\xi) ; \xi \in[a,b]

Donde Is es el valor aproximado de I y h la longitud de cada intervalo.

b) Determine el mínimo número de subintervalos que permita alcanzar una tolerancia de 0.0001. NO considere errores de redondeo.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (15 puntos)

s2Eva_IIT2019_T4 Integrar con Cuadratura de Gauss

f(x) = x ln(x)

1 ≤x≤4

se requiere:

I = \int_1^4 x ln(x) dx

literal a. Usando el método de Cuadratura de Gauss con 2 términos

x_a = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_0 = \frac{4+1}{2} + \frac{4-1}{2}\Big(\frac{-1}{\sqrt{3}} \Big)

xa =1.6339745962155612

x_b = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_1 = \frac{4+1}{2} + \frac{4-1}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{3}} \Big)

xb =3.366025403784439

I \cong \frac{b-a}{2}(f(x_a) + f(x_b)) I \cong \frac{4-1}{2}(x_a ln(x_a) + x_b ln(x_b))

I = 7.33164251999249

literal b.  De la fórmula , despejar el valor del error<0.0001

\Big|\frac{(b-a)}{180}h^4 f^{(4)} (\xi)\Big| <0.0001; \xi \in[a,b] h^4 <0.0001\frac{180}{(4-1)}\frac{1}{f^{(4)} (\xi)} h^4 < 0.006\frac{1}{f^{(4)} (\xi)} h <\Big(0.006\frac{1}{f^{(4)} (\xi)}\Big)^{1/4}

obteniendo la 4ta derivada de la función:

f(x) = x ln(x) f'(x) = ln(x) + x\Big(\frac{1}{x} \Big) = ln(x) +1 f''(x) = \frac{1}{x} f'''(x) = -\frac{1}{x^2} f^{(4)}(x) = 2\frac{1}{x^3}

se tiene que:

h <\Big(0.006\frac{1}{f^{(4)} (\xi)}\Big)^{1/4} h <\Big(0.006\frac{1}{2\frac{1}{\xi^3}}\Big)^{1/4} h <\Big(0.003\xi^3\Big)^{1/4} h <(0.003)^{1/4}\xi^{3/4}

en el peor de los csis, se toma el valor menor de ξ =1

h <(0.003)^{1/4} h<0.2340347319320716