1Eva_IT2019_T3 Vector perpendicular a plano

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. ( 30 puntos) Considere los siguientes vectores:
V1 = (2,-3,a)
V2=(b,1,-4)
V3= (3,c,2)

Se sabe que V1 es perpendicular a V y V3.

También se sabe que V2.V3=2.

Use un método para encontrar el valor de las incógnitas a,b,c

a) Plantee el sistema

b) Resuelva con el método de eliminación de Gauss

c) Vuelva a resolver con el método de Jacobi con x(0) = [0,0,0], realice tres iteraciones

d) Encuentre el residuo, cota del error absoluto y relativo

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, ordenar las ecuaciones(5 puntos), método Gauss (10 puntos);  literal c, aplicarJacobi (5 puntos), literal d (5 puntos)


Notas:
– Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.
– En geometría euclídea se tiene, dos vectores v1 y v2 que son ortogonales forman un ángulo recto, por lo tanto v1 ⋅ v2 = 0. https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)

Referencia: Chapra 5ed. problema 10.18 p304, pdf 328.

1Eva_IT2019_T2 Catenaria cable

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) Un cable en forma catenaria es aquel que cuelga entre dos puntos que no se encuentran sobre la misma línea vertical. Como se muestra en la figura 1, no está sujeta a más carga que su propio peso. Así, su peso en N/m actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable. 

En la figura 2, se ilustra un diagrama de cuerpo libre de una sección AB, donde TA y TB son las fuerzas de tensión en el extremo.

Con base en los balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable el siguiente modelo:

y = \frac{T_A}{w} cosh \Big( \frac{w}{T_A}x \Big) + y_0 - \frac{T_A}{w}

Donde la altura y del cable está en función de la distancia x.

Además se tiene que:

cosh(z) = \frac{e^z+ e^{-z}}{2}

Utilice el método de Newton-Raphson para hallar el valor del parámetro TA dado los valores de los parámetros w=12, y0=6 de modelo que el cable tenga una altura de 15 metros para x=50

Rúbrica: Planteamiento del problema (10 puntos), obtener la derivada (5 puntos), plantear el método (5 puntos), iteraciones (5 puntos), verificar tolerancia (5 puntos)


Nota: Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.

Referencia: Chapra 5Ed Problema 8.17 p219 pdf243. Sears&Zemanski Vol1 12Ed problema 5.63. Cuerda con masa p173. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

1Eva_IT2019_T1 Oxígeno y temperatura en mar

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 1. (40 puntos) La concentración de oxígeno disuelto a nivel del mar en agua dulce es función de la temperatura o(T)

T (℃) 0 8 16 24 32 40
o (mg/L) 14.6 11.5 9.9 8.4 7.3 6.4

a) Con los siguientes datos, encuentre un modelo polinómico de grado 3 y estime la concentración para la temperatura de 15 grados y estime el error.

b) Usando el polinomio del literal a, aproxime la derivada de la concentración de oxígeno en función de la temperatura en T = 16 grados.

c) Usando el polinomio del literal a y el método de la bisección encuentre T cuando o=9 mg/L, con una tolerancia de 10-3

Rúbrica: literal a, plantear polinomio (15 puntos), interpolar (5 puntos), literal b obtener derivada (5puntos), evaluar derivada (5 puntos) literal c, selección de rángo de búsqueda (3 puntos) desarrollo de al menos tres iteraciones (7 puntos)


Nota: Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.

tm = [0.,8,16,24,32,40]
ox = [14.6,11.5,9.9,8.4,7.3,6.4]

Referencia: Chapra 5ed, problema 19.15 p576, pdf600.  1Eva_IIT2014_T3 Oxigeno y temperatura en mar, http://blog.espol.edu.ec/matg1013/1eva_iit2014_t3-oxigeno-y-temperatura-en-mar/. La «gigantesca» reserva de agua dulce hallada bajo el océano Atlántico (y qué esperanzas brinda para las zonas áridas del planeta). eluniverso.com 25/junio/2019. https://www.eluniverso.com/noticias/2019/06/25/nota/7394484/gigantesca-reserva-agua-dulce-hallada-bajo-oceano-atlantico-que

 

 

Evaluaciones

de años anteriores, clasificado por:

  • Evaluación, término académico, Año, número de tema
  • por temas evaluados (Unidades)

Con algunas soluciones propuestas

3Eva_IIT2018_T3 EDO

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 3. (40 puntos)

y'' = 2y'-y +xe^{x} -x

0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0
y(2) = -4

a. Use las fórmulaas en diferencias finitas para aproximar las soluciones en los nodos indicados con h = 0.25
b. Estime el error

c. Con los puntos calculados, construya el trazador cúbico natural

Rúbrica: Plantear malla (5 puntos), plantear método (5 puntos), desarollo de la ecuación (10 puntos), planteo del error (5 puntos), obtención del trazador (10 puntos)

3Eva_IIT2018_T2 Drenar tanque cilíndrico

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) En un tanque cilíndrico vertical, al abrir una válvula en la base el agua fluirá rápidamente cuando el tanque esté lleno; conforme el tanque se vacía irá fluyendo más lentamente.

Si la rapidez a la que disminuye el nivel del agua es:

\frac{\delta y}{\delta t} = -k\sqrt{y}

Donde k es una constante que depende del área de la sección transversal del tanque y del orificio de salida.

La profundidad el agua «y» se mide en pies; y el tiempo t en minutos.

Si k=0.5 e inicialmente el nivel del fluido es de 9 pies. ¿Cuál es el tiempo mínimo para que la altura del taque sea inferior a 6 pies?

a. Utilice el método de Taylor de segundo orden para resolver este problema con h= 0.5 minutos

b. Estime el error en cada paso.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), valor numérico (5 puntos), planteo del error(5 puntos), valor del error (5 puntos)

3Eva_IIT2018_T1 Integral Doble con Cuadratura de Gauss

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Aproxime el resultado de la integral doble:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{\sin (x)}^{\cos (x)} \Big( 2y \sin(x) + \cos ^2 (x) \Big) \delta y \delta x

a. Use el método de cuadratura de Gauss de dos términos en cada eje

b. Determine el error al comparar el resultado numérico con el valor exacto.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo (10 puntos), plantear el error (10 puntos), valor del error (5 puntos)

2Eva_IIT2018_T3 EDP

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 3. (40 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP) usando un método de diferencias finitas. Considere b = 0

\frac{\delta u}{\delta t} = \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + b\frac{\delta u}{\delta x} 0<x<1, t>0

condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1

condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1

a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t

b) estime el error.

Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).

2Eva_IIT2018_T2 Kunge Kutta 2do Orden x»

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) Se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con valores inciales.

\frac{\delta ^2 x}{\delta t^2} + 5t\frac{\delta x}{\delta t} +(t+7)\sin (\pi t) = 0 0<t<2 x(0)=6,\frac{\delta x}{\delta t}(0) = 1.5

a) Transforme la ecuación en un sistema de primer orden.

b) Use el método de Runge-Kutta de orden 2 (modificado de Euler) con h=0.2 para aproximar x para 3 pasos.

c) Estime el error.

Rúbrica: literal a, aplica el cambio de variables (5 puntos).
literal b, Conoce una fórmula de RK2orden (5 puntos). Plantea la fórmula de RK2 orden al sistema (5 puntos). Realiza al menos 3 pasos (5 puntos).
literal c, conoce las fórmulas del error hasta (5 puntos), calcula el error hasta (5 puntos)

 

2Eva_IIT2018_T1 Masa entra o sale de un reactor

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor químico durante un periodo específico de tiempo. https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico

M = \int^{t_2}_{t_1}Q(t)C(t) dt

t : min
C(t) : mg/m3
Q(t) : m3/min

a) Con los datos mostrados en la tabla y usando los métodos de Simpson 1/3 y 3/8, aproxime la cantidad de masa que sale de un reactor entre t1=0 y t2=25 min.

t 0 5 10 15 20 25
C(t) 10 18 27 35 40 30
Q(t) 4 6 7 6 5 5

b) Estime el error

Rúbrica: Conoce los métodos de Simpson hasta (5 puntos), Calcula la función a integrar hasta (5 puntos), Separa los intervalos hasta (5 puntos), Aplica las fórmulas correctamente hasta (5 puntos). Literal b, conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula los errores (5 puntos)

Referencia: Chapra problema 24.4 p693 pdf717. Reactor químico, https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico