3Eva_IT2019_T3 Difusión en sólidos

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos).  En el año 1855, los experimentos de Adolf Fick tratan sobre la medición de concentraciones y sus flujos, también ahora aplicados a la difusión en sólidos que en ese tiempo no se consideraba posible.

La gráfica muestra los cambios en el tiempo de concentración Φ de un gas en un sólido (estado no-estacionario) para un sólido semi infinito (eje y).

La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}

Φ(0, t) = 5; Φ(L, t) = 0; Φ(x,0) = 0; D = 0.16; L =0.1

a. Plantee las ecuaciones, la malla, desarrolle y obtenga el modelo Φ(xi,tj)
b. Aproxime la solución con Δx = 0.02, Δt = Δx/100. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
c. Estime el error de Φ(xi,tj)

Rúbrica: Construir la malla (5 puntos), plantear la ecuación en el nodo i,j (5 puntos), modelo de ecuación (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Fick;
Difusión 2ª Ley de Fick|7/22|UPV (2011) https://www.youtube.com/watch?v=HHBvZDNvTic

3Eva_IT2019_T2 Integral con interpolación

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Construya un polinomio que aproxime a f(x) = sin(\pi x) usando los puntos x=0, π/4, π/2 y aproxime la integral de 0 a π/2.

a. Realice la interpolación mediante el método de trazador cúbico fijo
b. Integre usando el método de cuadratura de Gauss
c. Estime el error para el ejercicio.

Rúbrica: Bosquejo de gráficas (5 puntos), literal a, planteo de fórmulas (5 puntos), calcula los parámetros (10 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos).

3Eva_IT2019_T1 Ecuaciones simultáneas

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos).  Deteremine las raíces de las ecuaciones simultáneas siguientes:

y = -x^2 +x + 0.75 y+5xy=x^3

a. Realice un bosquejo para cada ecuación
b. Use el método de Newton-Raphson con x0=1 , y0=0.75, realice 3 iteraciones
c. Estime el orden del error

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b planteo (5 puntos), iteraciones (15 puntos), literal c (5 puntos)

2Eva_IT2019_T3 EDP Elíptica Placa 6×5

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Una placa rectangular de plata de 6×5 cm tiene calor que se genera uniformemente en todos los puntos, con una rapidez q = 1.5 cal/cm3 s.
Al representar con x la distancia a lo largo del borde de longitud 6 cm y con y la de 5 cm.

Suponga que la temperatura en los bordes se mantiene como se indica:

u(x,0) = x(6-x) u(x,5)=0 0≤x≤6
u(0,y) = y(5-y) u(6,y)=0 0≤y≤5

Donde el origen se encuentra en una esquina de la placa y los bordes se hayan a lo largo de los ejes positivos x, y.

La temperatura de estado estable u(x,y) satisface la ecuación de Poisson:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y)+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } (x,y) = -\frac{q}{K}

0≤x≤6
0≤y≤5

Donde K, la conductividad térmica es 1.04 cal/cm deg s.

a. Aproxime la temperatura u(x,y) en los nodos de la malla con hx =2, hy= 2.5

b. Exprese el término del error

Rúbrica: literal a expresiones (10 puntos), valor (5 puntos), literal b (5 puntos)


Referencia: Ejercicio 12.1.8, Burden 9Ed, p724.

2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Suponga que un péndulo tiene 0.6 m de Longitud, se desplaza θ desde la posición vertical de equilibrio.

\frac{d^2\theta }{dt^2}+\frac{g}{L}\sin (\theta)=0 0\lt t \lt 1 g = 9.81 \frac{m}{s^2} \theta(0) = \frac{\pi}{6} \theta '(0) = 0

a. Aproxime la solución de la ecuación para t = [0,1] con pasos de h=0.2
b. Aproxime el valor del error

Rúbrica: literal a, expresiones (20 puntos), valor (10 puntos), literal b (10 puntos)


Referencia: Ejercicio 5.9.8, Burden 9Ed, p338.
2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular

Professor of Physics Emeritus Walter Lewin.  Lec 11 | 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999.

2Eva_IT2019_T1 Esfuerzo en pulso cardiaco

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos) La conducción eléctrica del corazón se identifica en un electrocardiograma por segmentos de ondas P, R, T.

Mediante un sensor se obtuvo lecturas de un pulso cardiaco y se requiere obtener una medida del esfuerzo mediante el valor Xrms expresado como:

X_{rms} = \sqrt{\frac{1}{t_n-t_0}\int_{t_0}^{t_n}[f(t)]^2dt}
t 0.0 0.04 0.08 0.1 0.11 0.12 0.13 0.16 0.20 0.23 0.25
f(t) 10 18 7 -8 110 -25 9 8 25 9 9

a. Aproxime el valor Xrms usando el integral en todo el intervalo [0,0.25], minimice el error usando preferiblemente métodos de Simpson.
b. Estime la cota de error para el valor Xrms encontrado
Justifique sus respuestas escribiendo todas las expresiones

Rúbrica: literal a, expresiones (16 puntos), valor (8 puntos), literal b (6 puntos)


t  = np.array([0.0,0.04,0.08,0.1,0.11,0.12,0.13,0.16,0.20,0.23,0.25])
ft = np.array([10.0, 18, 7, -8, 110, -25, 9, 8, 25, 9, 9])

Referencia: Valor cuadrático medio, https://es.wikipedia.org/wiki/Media_cuadr%C3%A1tica
Sensor de pulso cardiaco arduino, http://blog.espol.edu.ec/edelros/pulso-cardiaco/

2Eva_IT2010_T3 EDP elíptica, Placa no rectangular

2da Evaluación I Término 2010-2011. 31/Agosto/2010. ICM00158

Tema 3. La placa plana mostrada en la figura está construida con cierto metal, y se ha determinado que la temperatura en los bordes de la placa es la que se indica en la figura.

Ademas de tiene que el término no homogéneo asociado a la ecuación elíptica respectiva es f(x,y)=20

\frac{\delta^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = f

El problema consiste en determinar la temperatura en los puntos del interior de la placa en la malla que se muestra en la figura.

a. Determinar el algoritmo en diferencias finitas que resuelve el problema

b. Plantear el sistema de ecuaciones lineas que resuelve el problema

c. Utilice el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones generado

2Eva_IT2012_T3_MN EDO Taylor 2 Contaminación de estanque

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (30 puntos) Suponga un estanque de cierto tamaño con agua, la cual está siendo contaminada por una corriente que ingresa constantemente.

En la siguiente ecuación s representa la cantidad de contaminación en el tiempo t:

s'- \frac{26s}{200-t} - \frac{5}{2} = 0 0\leq t \lt 200

Con la condición inicial s(0) = 0, la cual significa que inicialmente el agua está limpia.

Determine la cantidad de contaminación s(t) para

t =  [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]

usando la fórmula de Euler, es decir los dos primeros términos de la Serie de Taylor.

2Eva_IIT2016_T3_MN EDO Taylor 2, Tanque de agua

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 3.  Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque está lleno y disminuye el flujo a medida que se drene.

Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}

Donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero del drenaje. La profundidad del agua del agua se mide en metros y el tiempo t en minutos.

Si k=0.06,

a) Determine en que tiempo la altura del nivel del agua llega a la mitad del nivel inicial que es 3 m. (Solo formule el método de Taylor de orden 2)

b) Realice 3 pasos con h=0.5 min

1Eva_IT2019_T3 Vector perpendicular a plano

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. ( 30 puntos) Considere los siguientes vectores:
V1 = (2,-3,a)
V2=(b,1,-4)
V3= (3,c,2)

Se sabe que V1 es perpendicular a V y V3.

También se sabe que V2.V3=2.

Use un método para encontrar el valor de las incógnitas a,b,c

a) Plantee el sistema

b) Resuelva con el método de eliminación de Gauss

c) Vuelva a resolver con el método de Jacobi con x(0) = [0,0,0], realice tres iteraciones

d) Encuentre el residuo, cota del error absoluto y relativo

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, ordenar las ecuaciones(5 puntos), método Gauss (10 puntos);  literal c, aplicarJacobi (5 puntos), literal d (5 puntos)


Notas:
– Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.
– En geometría euclídea se tiene, dos vectores v1 y v2 que son ortogonales forman un ángulo recto, por lo tanto v1 ⋅ v2 = 0. https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)

Referencia: Chapra 5ed. problema 10.18 p304, pdf 328.