1Eva_IIIT2007_T3 Factorar polinomio

1ra Evaluación III Término 2007-2008. 3/Marzo/2008. ICM00158

Tema 3. Se requiere factorar el polinomio:

P_3(x) = 2x^3-5x^2 + 3x-1 P_3(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)

Utilizando el siguiente procedimiento:

a. Calcule r1 resolviendo P3(x) = 0 con Newton, ε = 0.0001

b. Obtenga el polinomio cociente Q2(x) de P3(x) = (x – r1)Q2(x)

c. Calcule r2 y r3 de la ecuación Q2(x) = 0

d. Escriba los otros factores de Q2(x)  = (x – r2)(x – r3)

1Eva_IIIT2007_T2 Función Cobb-Douglas

1ra Evaluación III Término 2007-2008. 3/Marzo/2008. ICM00158

Tema 2. La función de producción llamada Cobb-Douglas relaciona funcionalmente a los insumos de capital y trabajo necesarios para producir de la manera más óptima de una determinada cantidad de un bien.

Y = f(K,L) es la cantidad máxima del bién que se puede producir dados los insumos utilizados de capital y trabajo. K y L representan las cantidades de capital y trabajo respectivamente.

En la industria de lácteos se han observado los siguientes valores óptimos de producción Y (en miles de Kg) para diferentes valores de L  (# de trabajadores)  y capital invertido K (en miles de dólares).

 L\K  10 20 30 40
0  0  0  0  0
10  11.0000  13.0813  14.4768  15.5563
20  18.4997  22.0000  24.3470  26.1626
30  25.0746  29.8189  33.0000  35.4608

a. Determinar usando el polinomio de interpolación de Lagrange cuál será la producción óptima de lácteos en una empresa que emplea 25 trabajadores y que invierte un capital de $ 25000 en el plan de producción.

b.  Una empresa que tiene 25 trabajadores desea producir 30000 kg de lácteos. ¿cuánto dinero deberá invertir?, use el polinomio de interpolación y el método de Newton con una precisión de 10-5

Referencia: Wikipedia/Cobb-Douglas

M = np.array([[0, 0, 0, 0],
              [11.0000, 13.0813, 14.4768, 15.5563],
              [18.4997, 22.0000, 24.3470, 26.1626],
              [25.0746, 29.8189, 33.0000, 35.4608]])
li = np.array([0, 10, 20, 30])
kj = np.array([10, 20, 30, 40])

1Eva_IIIT2007_T1 Container: Cocinas y Refrigeradoras

1ra Evaluación III Término 2007-2008. 3/Marzo/2008. ICM00158

Tema 1. En un container se transportaron cocinas y refrigeradoras.

Cada cocina pesa 100Kg y cada refrigeradora 200Kg.

Por otro lado, una cocina ocupa un espacio de 1.05 m3 y cada refrigeradora 2 m3.

En total entre cocinas y refrigeradoreas se registró un peso de 1000Kg y ocuparon juntas un espacio de 10.4 m3.

Se desea conocer cuántas cocinas y refrigeradoras se transportó en el container.

a. Plantear este problema como el de un sistema de ecuaciones y resolverlo con un método directo (Gauss), usar aritmética de 4 dígitos.

b. El encargado de transporte se equivocó, y en realidad cada cocina ocupa un espacio de 1.1 m3. Encuentre nuevamente la solución.

c. El sistema de ecuaciones usado ¿Es bién o mal condicionado?


 

1Eva_IIT2007_T3 Interpolación inversa

1ra Evaluación II Término 2007-2008. 4/Diciembre/2007.
ICM00158

Tema 3. Dado los datos de una función:

f(0.50) = 1.648
f(0.65) = 1.915
f( x  ) = 2.117
f(0.80) = 2.225
f(0.95) = 2.5857

Determinar el valor de x, usando interpolación inversa.


xi = np.array([0.50 , 0.65 , x, 0.80 , 0.95  ])
fi = np.array([1.648, 1.915, 2.117, 2.225, 2.5857])

Use otra forma para repasar otros conceptos:
– Encuentre el polinomio de interpolación entre los puntos disponibles,
– Use un método de búsqueda de raiz para encontrar el punto x.

1Eva_IIT2007_T2 Aplicar Gauss-Seidel

1ra Evaluación II Término 2007-2008. 4/Diciembre/2007. ICM00158

Tema 2. Dadas las matrices:

A = [[7.63, 0.30, 0.15,  0.50, 0.34, 0.84],
     [0.38, 6.40, 0.70,  0.90, 0.29, 0.57],
     [0.83, 0.19, 8.33,  0.82, 0.34, 0.37],
     [0.50, 0.68, 0.86, 10.21, 0.53, 0.70],
     [0.71, 0.30, 0.85,  0.82, 5.95, 0.55],
     [0.43, 0.54, 0.59,  0.66, 0.31, 9.25]]

B = [[ -9.44],
     [ 25.27],
     [-48.01],
     [ 19.76],
     [-23.63],
     [ 62.59]]

a) Escribir los sitemas AX=B y X=TX+C

b) Determine ||A||, y ||T||

c) Establezca la solución con el método de Gauss-Seidel con una tolerancia de 10-5

1Eva_IIT2007_T1 Distribución binomial acumulada

1ra Evaluación II Término 2007-2008. 4/Diciembre/2007. ICM00158

Tema 1. Un modelo de uso frecuente en teoría de probabilidad es la distribución binomial acumulada, cuya fórmula es:

F = \sum_{t=0}^{k} \binom{n}{t} p^t (1-p)^{n-t}

Con la fórmula de Newton, calcule con cuatro decimales exactos el valor de p tal que F=0.4, dado que n=5 y k=1

Nota: El valor de p debe ser un número real entre 0 y 1

1Eva_IIT2008_T3_MN Ganancia en inversión

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. Se tienen los datos (x, f(x)), en donde x es un valor de inversión y f(x) es un valor de ganancia, ambos en miles de dólares: inversiones y ganancias

[[3.2, 5.12],
 [3.8, 6.42],
 [4.2, 7.25],
 [4.5, 6.85]]

para analizar éste comportamiento se propone el modelo:

f(x) = a_1 x^3 + a_2 x^2 + a_3 x + a_4

a) Sustituya cada dato (x, f(x)) en el modelo y obtenga un sistema de ecuaciones lineales.

b) Obtenga los coeficientes ai resolviendo el sistema lineal con un método numérico directo.

c) Con el modelo f(x), use el método de la Bisección para calcular cuánto debe invertirse si se desea que la ganancia sea de 6.0 (miles de dólares).
Precisión: dos decimales exactos.

1Eva_IIT2008_T2_MN Distribuidores de productos

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2.  Para mejorar la cadena de distribución de un producto, se desea instalar tres nuevos distribuidores X1, X2, X3 en la parte interna de la región. En las cercanías ya existen otros distribuidores: A, B, C, D, E, F, G del mismo producto.

En el gráfico, el valor de los círculos indican el precio de venta del producto que ofrece cada distribuidor. Las líneas muestran los otros distribuidores que están directamente conectados y el costo del transporte.

Determine el precio de venta que deben establecer los distribuidores X1, X2 y X3, de tal manera que sean el promedio de los precios de los distribuidores con los que están directamente conectados, incluyendo el precio del transporte.

a) Plantee un modelo matemático para describir el problema (sistema de ecuaciones lineales)

b) Encuentre la solución con un método numérico directo

1Eva_IIT2008_T1_MN Bacterias contaminantes

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación:

c= 70 e^{-1.5t} + 25 e^{-0.075t}

Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias sea menor o igual a 9.

a) Encuentre un intervalo en el que exista una raíz de la ecuación

b) Elija un valor inicial del tiempo tal que el método de Newton converja a la solución requerida.

c) Calcule la solución con el método de Newton con una precisión de 0.001

1Eva_IIT2008_T3 Bacterias contaminantes

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM00158

Tema 3. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación:

c= 70 e^{-1.5t} + 25 e^{-0.075t}

Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 unidades o menos.

a) Determine un intervalo de existencia de la raíz de la ecuación. (Grafique)

b) Encuentre un valor de p tal que la convergencia del método de Newton este garantizada.

c) Aproxime la raíz con el métdodo de Newton, indicando la cota del error.


Referencias: Contaminación del Agua – BrainPOP Español.

Buenos Aires, Malas Aguas
https://www.youtube.com/watch?v=FR6zfyhd-eA