1Eva_IIT2010_T3 Raíz de Polinomio

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 3. El polinomio P(x) tiene una única raiz positiva.

P(x) = x3 – x2 -x -1

Encuentre un intervalo donde se garantice la existencia de ésta raíz (justifique).

Utilizando el método del punto fijo, presente una tabla que contenga la sucesión de valores, el error

en = | xn – xn-1|, n≥1,

y con un criterio de interrupción del método iterativo de en ≤ 10-9

1Eva_IIT2010_T2 Sistema ecuaciones, X0 = unos

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por:

\begin {cases} 0.4 x + 1.1 y +3.1z = 7.5 \\ 4x + 0.15y + 0.25z = 4.45\\ 2x+5.6y+3.1z=0.1\end{cases}

De ser posible, manipule el sistema de tal forma que se garantice la convergencia del método de Gauss-Seidel, determine la norma de la matriz T.

Determine la solución con éste método con el vector inicial (1,1,1) y con una tolerancia 10-4.


A = np.array([[0.4, 1.1,  3.1],
              [4.0, 0.15, 0.25],
              [2.0, 5.6, 3.1]])
B = np.array([7.5, 4.45, 0.1])
X = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
tolera = 1e-4
iteramax = 100

1Eva_IIT2010_T1 Aproximar con polinomio

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 1. La función de variable real f(x) será aproximada con el polinomio de segundo grado P(x) que incluye los tres puntos f(0), f(π/2), f(π).

f(x) = e^x \cos (x) +1 0\leq x \leq \pi

Encuentre la magnitud del mayor error E(x) = f(x) -P(x), que se produciría al usar esta aproximación. Resuelva la ecuación no lineal resultante con la fórmula de Newton con un error máximo de 0.0001.

1Eva_IT2010_T3_MN Precio artículos

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188. Métodos Numéricos

Tema 3. Un comerciante compra cuatro artículos: arroz, manzanas, papas y tomates.

Estos productos se venden por peso en Kg.

El cajero registra el peso adquirido de cada artículo y el costo total en dólares que debe pagar por los cuatro artículos.

El comerciante desea conocer el precio por Kg. de cada artículo, para lo cual dispone de cuatro facturas con los siguientes datos:

cantidades en Kg
 Factura  Arroz  Manzanas  Papas  Tomates  Costo ($)
 1  2  2  4  1  15.0
 2  2  2  5  2  18.3
 3  4  1  1  2  12.3
 4  2  5  2  1  19.2

a. Formule el modelo matemático para resolver este problema: sistema de ecuaciones lineales

b. Use el método de Gauss-Jordan para calcular la solución. Simultáneamente, transforme la matriz identidad para obtener la inversa de la matriz de coeficientes.

1Eva_IT2010_T2_MN Uso de televisores

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188. Métodos Numéricos

Tema 2. La curva de encendido de televisores en la ciudad de Guayaquil está en función de la hora del dia y del día de la semana. Suponga que en un intervalo de 4 horas, un determinado día , el porcentaje de televisores encendidos está dado por la función:

p(x) =\frac{1}{2.5} \Big(-10 \sin \Big(\frac{12x}{7} \Big) e^{-\frac{24x}{7}} + \frac{48x}{7}e^{-\frac{8x}{7}} + 0.8 \Big)

0≤x≤4

x: Tiempo en horas
p: porcentaje en horas de televisores encendidos

a. Encuentre un intervalo en que se encuentre el máximo de la función p

b. Utilice el método de Newton para encontrar el máximo de la función p. Calcule la respuesta con un error máximo de 0.0001

c. Encuentre el mínimo de la función p en el mismo intervalo de cuatro horas con el mismo método y con la misma precisión anteriores.

1Eva_IT2010_T1_MN Demanda y producción sin,log

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. La demanda de un producto en el intervalo de tiempo [0,3] tiene forma sinusoidal.

Al detectar la demanda, una empresa puede iniciar su producción a partir del instante 1, y la cantidad producida tiene forma logaritmica natural.

Se necesita encontrar el instante a partir del cual, la producción satisface a la demanda del producto.

Use el método de la Bisección para localizar el intervalo de la respuesta y obtenga la respuesta con error menor a 0.01

1Eva_IIT2011_T3_MN Producir un producto adicional

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. En el problema anterior, la empresa ha decidido fabricar un producto adicional D con la siguiente composición y con la misma cantidad de insumos disponibles semanales.

Sea t la cantidad del producto D que se producirá semanalmente (t≥0)

Insumo1 Insumo2 Insumo3
Producto D  3 2  2

a) encuentre el conjunto solución para x, y ,z, en términos de la variable independiente t

b) Encuentre el rango de producción posible del producto D, y con éste rango encuentre el rango de producción posible para los otros tres productos.

1Eva_IIT2011_T2_MN Insumos por semana

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. insumos
Una empresa produce semanalmente 3 tipos de productos, los insumos que requiere cada unidad producida se indican en la siguiente tabla:

Insumo1 Insumo2 Insumo3
Producto A 2 3 5
Producto B 5 2 7
Producto C 2 1 4

La cantidad de insumos que debe utilizarse exactamente cada semana es:

Insumo1 Insumo2 Insumo3
200 150 400

Sean x, y, z, la cantidad de productos A,B,C respectivamente, producida semanalmente (x≥0, y≥0, z≥0)

a) Plantee un sistema de ecuaciones

b) Utilice el método de eliminación de Gauss y encuentre la solución.

c) Incremente en 0.1 el primer coeficiente de la matriz. Resuelva nuevamente el sistema y comente acerca del cambio en la solución respecto al cambio en la matriz de coeficientes.

1Eva_IIT2011_T1_MN Función de probabilidad

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. Para que f(x) sea una función de probabilidad, se tiene que cumplir que su integral en el dominio de x debe tener un valor igual a 1.

Encuentre el valor de b para que la función

f(x) = 2 x^2+x

sea una función de probabilidad en el dominio [0,b].

Use la fórmula de Newton en la ecuación no lineal resultante. error tolerado=0.0001

1Eva_IIT2011_T3 Polinomio Lagrange

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM00158

Tema 3. Sea f \in C^{4}[0,1] , tal que
f(0.50) = 1.648
f(0.65) = 1.915
f(0.80) = 2.225
f(0.95) = 2.5857

Usando el polinomio interpolante de Lagrange, aproxime:
f(0.76) y
f(0.87).


datos = [[0.50, 1.648],
         [0.65, 1.915],
         [0.80, 2.225],
         [0.95, 2.5857]]