1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipoteca

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 4. Para pagar una hipoteca de una casa durante n periodos de tiempo se usa la fórmula:

P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big)

En ésta ecuación, P es el valor presente de la casa, A es el valor del pago periódico de la deuda durante n periodos y la tasa de interés por periodo es i.

Suponga que la casa tiene un valor presente de 70000 dólares y deberá ser pagada mediante 1200 dólares mensuales por 25 años (300 meses).

a) Plantee la ecuación

b) Encuentre un intervalo para i donde haya un cambio de signo en la función

c) Aplique el método de Newton

1Eva_IIT2018_T3 Interpolar con sistema de ecuaciones

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 3. Encuentre el polinomio:

p_2(x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2

tal que se ajuste a tres puntos de y(x) para x = 1.0, 1.5 y 2.1 de la tabla presentada.
Resuelva usando un sistema de ecuaciones.

x 1.0 1.1 1.3 1.5 1.9 2.1
y(x) 1.84 1.90 2.10 2.28 2.91 3.28

a) Plantee el sistema Ax=B resultante con las variables b0, b1, b2

b) Calcule ||Tj||  y comente

c) Encuentre el número de condición K(A) =||A||||A-1||  y comente

d) Resuelva el sistema con el método de eliminación de Gauss

1Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un punto

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 2. Aproxime con un grado de exactitud de 0.0001 el valor de x que en la gráfica de y=ex está más cerca al punto P(1,1).

a) Plantear la ecuación

b) Hallar un intervalo de existencia y de convergencia


Referencias: 

Gigante asteroide con su propia Luna pasará en cercanías de la Tierra . https://www.eluniverso.com/noticias/2019/05/23/nota/7344362/gigante-asteroide-su-propia-luna-pasara-cercanias-tierra

 Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra

 

Referencia: https://spaceplace.nasa.gov/comet-quest/sp/

1Eva_IIT2018_T1 Interpolar velocidad del paracaidista

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013 https://www.dreamstime.com/stock-photo-skydiving-formation-group-people-image62015024

Tema 1. Un paracaidista con masa de 75 Kg salta de un globo aerostático fijo.

La velocidad del paracaidista se registra como se indica en la tabla.

t [s] 0 2 4 6 8
v(t) [m/s] 0.0 16.40 27.77 35.64 41.10

a) Construya un polinomio P2(t) para 0 ≤ t ≤ 8

b) Mediante integración encuentre la distancia recorrida en el tiempo de 0 a 8 segundos.


t = [0.0, 2, 4, 6, 8]
v = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]

1Eva_IT2018_T2 Teorema Punto Fijo

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

Tema 2. (25 puntos) Sea g:[a,b] → R una función continua tal que g(x) ∈ [a,b] para toda x ∈ [a,b] .
Suponga además que g es una función contractiva en [a,b] esto es
\forall x,y \in [a,b]: |g(x)-g(y)| \lt |x-y|

Demuestre o refute las siguientes afirmaciones:

a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]

b) g tiene un punto fijo único en [a,b]

Rúbrica:
Literal a. Construye la función f(x)=x-g(x)=0 , verifica el cambio de signo de f(x) en los extremos del intervalo y concluye que p =g(p) (hasta 15 puntos),
literal b. Supone dos puntos fijos, calcula | p-q |, utiliza la propiedad contractiva y concluye que se produce una contradicción (hasta 10 puntos)

1Eva_IT2018_T1 Tanque esférico canchas deportivas

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

Tema 1. (25 puntos) Suponga que se está diseñando un tanque esférico para almacenamiento de agua para las canchas de la ESPOL. 

El volumen del líquido se calcula con:

V = \frac{\pi h^{2} (3R-h)}{3}

donde
V: volumen,
h: profundidad en el tanque,
R: radio.

Si R=3 m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque tal que contenga 30 m3?

a) Seleccione un valor inicial adecuado y

b) Realice las iteraciones con el método de Newton-Raphson y una tolerancia de 10-6.

c) Con los errores en las iteraciones verifique el orden de convergencia

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos)

1Eva_IT2018_T3 Temperatura en nodos de placa

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013

Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo.

Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,

a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.

b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia

c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.

d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo

Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).

1Eva_IT2018_T4 El gol imposible

1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/Junio/2018. MATG1013

Tema 4. “El gol que desafió a la física”. El 3 de junio de 1997, durante el partido de Brasil vs Francia, el brasileño Roberto Carlos ubicó la pelota a 35 metros del arco del Francés Fabien Barthez para rematar un tiro libre. Retrocedió 18 pasos, y luego sacó un zurdazo brutal, mágico, irreal, de ficción, para vencer en un segundo y fracción el arco del portero que al año siguiente se coronaría campeón del mundo.

Se obtuvieron los siguientes datos de videos y fotografías del suceso.

t 0.00 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.05 1.20
x(t) 0.00 0.50 1.00 1.50 1.80 2.00 1.90 1.10 0.30
y(t) 0.00 4.44 8.88 13.31 17.75 22.19 26.63 31.06 35.50
z(t) 0.00 0.81 1.40 1.77 1.91 1.84 1.55 1.03 0.30

Para el estudio de la trayectoria del balón se requieren las funciones que la describen en los ejes cartesianos.

a) Use interpolación con t = 0, 0.3, 0.6, 0.9 aproximar la trayectoria z(t) y encuentre t donde la altura es máxima.

b) Determine la altura ‘z’ del balón cuando cruzó la barrera. La barrera se ubica a y = 9 m de la posición inicial del balón.

c) Determine la desviación máxima (dx/dt=0) que hace que el gol sea considerado como “un desafío a la física”.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (7 puntos), literal c (8 puntos)

Referencias: La ciencia del Gol (1’49» a 2’50») video de Discovery Channel, .
El gol ‘imposible’ de Roberto Carlos a Francia cumple 20 años. El Comercio, Perú. 03.06.2017.
Científicos explican gol de tiro libre de Roberto Carlos. ElUniverso.com 3 de septiembre, 2010.


ti = [0.00, 0.15, 0.30, 0.45, 0.60, 0.75, 0.90, 1.05, 1.20]
xi = [0.00, 0.50, 1.00, 1.50, 1.80, 2.00, 1.90, 1.10, 0.30]
yi = [0.00, 4.44, 8.88,13.31,17.75,22.19,26.63,31.06,35.50]
zi = [0.00, 0.81, 1.40, 1.77, 1.91, 1.84, 1.55, 1.03, 0.30]

1Eva_IIT2017_T4 Teoría

1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013

Tema 4. (25 puntos) Complete:

a) En el teorema de iteración de punto fijo para sistemas de ecuaciones lineales se tiene que:
Para todo X(0)Rn, la sucesión \big( x^{(k)} \big)_{k=0}^{\infty} definida por: ______
converge a la solución de: _____
si y solo si: _____

b) Si f ∈ C2[a, b] y sea p ∈ [a, b] tal que f(p) = 0, f'(p) ≠ 0 entonces el método de Newton converge a p y tiene convergencia cuadrática.
Demuestre la proposición anterior.

c) En el teorema de punto fijo para ecuaciones de una variable se tiene:
Si g ∈ C[a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todo x en [a, b].
Además supongamos que existe g’en (a,b) y una constante positiva 0<k<1 tales que: ____
Entonces, ___

Rúbrica: En el literal a), por cada espacio llenado hasta 3%, en el literal b), 8% por demostrar que g'(p)=0 y 2% por demostrar que En+1 = g»(p)/2 En, en el literal c) hasta 3% por cada espacio llenado

1Eva_IIT2017_T3 Circuito eléctrico

1ra Evaluación II Término 2017-2018. 28/Noviembre/2017. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) El sistema de ecuaciones que sigue se generó por medio de aplicar la ley de malla de corriente al circuito de la figura.

55 I1 – 25 I4 = -200
-37 I3 –  4 I4 = -250
-25 I1 –  4 I3 + 29 I4 = 100
I2 = -10

a) Use el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema

b) Use el método de Jacobi y determine el número de iteraciones para ε = 0.01

c) Si el coeficiente 55 se cambia a 54.9, encuentre el error relativo de la aproximación en el literal a.

Rúbrica: Aplicación del método de eliminación de Gauss hasta 10%, Uso del método de Jacobi hasta 5% y determinación del número de iteraciones hasta 5%, Calculo del residuo y cota del error relativo hasta 5%.