2Eva_IT2019_T3 EDP Elíptica Placa 6×5

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos) Una placa rectangular de plata de 6×5 cm tiene calor que se genera uniformemente en todos los puntos, con una rapidez q = 1.5 cal/cm3 s.
Al representar con x la distancia a lo largo del borde de longitud 6 cm y con y la de 5 cm.

Suponga que la temperatura en los bordes se mantiene como se indica:

u(x,0) = x(6-x) u(x,5)=0 0≤x≤6
u(0,y) = y(5-y) u(6,y)=0 0≤y≤5

Donde el origen se encuentra en una esquina de la placa y los bordes se hayan a lo largo de los ejes positivos x, y.

La temperatura de estado estable u(x,y) satisface la ecuación de Poisson:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y)+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } (x,y) = -\frac{q}{K}

0≤x≤6
0≤y≤5

Donde K, la conductividad térmica es 1.04 cal/cm deg s.

a. Aproxime la temperatura u(x,y) en los nodos de la malla con hx =2, hy= 2.5

b. Exprese el término del error

Rúbrica: literal a expresiones (10 puntos), valor (5 puntos), literal b (5 puntos)


Referencia: Ejercicio 12.1.8, Burden 9Ed, p724.

2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Suponga que un péndulo tiene 0.6 m de Longitud, se desplaza θ desde la posición vertical de equilibrio.

\frac{d^2\theta }{dt^2}+\frac{g}{L}\sin (\theta)=0 0\lt t \lt 1 g = 9.81 \frac{m}{s^2} \theta(0) = \frac{\pi}{6} \theta '(0) = 0

a. Aproxime la solución de la ecuación para t = [0,1] con pasos de h=0.2
b. Aproxime el valor del error

Rúbrica: literal a, expresiones (20 puntos), valor (10 puntos), literal b (10 puntos)


Referencia: Ejercicio 5.9.8, Burden 9Ed, p338.
2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular

Professor of Physics Emeritus Walter Lewin.  Lec 11 | 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999.

2Eva_IT2019_T1 Esfuerzo en pulso cardiaco

2da Evaluación I Término 2019-2020. 27/Agosto/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos) La conducción eléctrica del corazón se identifica en un electrocardiograma por segmentos de ondas P, R, T.

Mediante un sensor se obtuvo lecturas de un pulso cardiaco y se requiere obtener una medida del esfuerzo mediante el valor Xrms expresado como:

X_{rms} = \sqrt{\frac{1}{t_n-t_0}\int_{t_0}^{t_n}[f(t)]^2dt}
t 0.0 0.04 0.08 0.1 0.11 0.12 0.13 0.16 0.20 0.23 0.25
f(t) 10 18 7 -8 110 -25 9 8 25 9 9

a. Aproxime el valor Xrms usando el integral en todo el intervalo [0,0.25], minimice el error usando preferiblemente métodos de Simpson.
b. Estime la cota de error para el valor Xrms encontrado
Justifique sus respuestas escribiendo todas las expresiones

Rúbrica: literal a, expresiones (16 puntos), valor (8 puntos), literal b (6 puntos)


t  = np.array([0.0,0.04,0.08,0.1,0.11,0.12,0.13,0.16,0.20,0.23,0.25])
ft = np.array([10.0, 18, 7, -8, 110, -25, 9, 8, 25, 9, 9])

Referencia: Valor cuadrático medio, https://es.wikipedia.org/wiki/Media_cuadr%C3%A1tica
Sensor de pulso cardiaco arduino, http://blog.espol.edu.ec/edelros/pulso-cardiaco/

2Eva_IT2010_T3 EDP elíptica, Placa no rectangular

2da Evaluación I Término 2010-2011. 31/Agosto/2010. ICM00158

Tema 3. La placa plana mostrada en la figura está construida con cierto metal, y se ha determinado que la temperatura en los bordes de la placa es la que se indica en la figura.

Ademas de tiene que el término no homogéneo asociado a la ecuación elíptica respectiva es f(x,y)=20

\frac{\delta^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = f

El problema consiste en determinar la temperatura en los puntos del interior de la placa en la malla que se muestra en la figura.

a. Determinar el algoritmo en diferencias finitas que resuelve el problema

b. Plantear el sistema de ecuaciones lineas que resuelve el problema

c. Utilice el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones generado

2Eva_IT2012_T3_MN EDO Taylor 2 Contaminación de estanque

2da Evaluación I Término 2012-2013. 28/Agosto/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (30 puntos) Suponga un estanque de cierto tamaño con agua, la cual está siendo contaminada por una corriente que ingresa constantemente.

En la siguiente ecuación s representa la cantidad de contaminación en el tiempo t:

s'- \frac{26s}{200-t} - \frac{5}{2} = 0 0\leq t \lt 200

Con la condición inicial s(0) = 0, la cual significa que inicialmente el agua está limpia.

Determine la cantidad de contaminación s(t) para

t =  [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]

usando la fórmula de Euler, es decir los dos primeros términos de la Serie de Taylor.

2Eva_IIT2016_T3_MN EDO Taylor 2, Tanque de agua

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 3.  Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque está lleno y disminuye el flujo a medida que se drene.

Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}

Donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero del drenaje. La profundidad del agua del agua se mide en metros y el tiempo t en minutos.

Si k=0.06,

a) Determine en que tiempo la altura del nivel del agua llega a la mitad del nivel inicial que es 3 m. (Solo formule el método de Taylor de orden 2)

b) Realice 3 pasos con h=0.5 min

2Eva_IIT2018_T3 EDP

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 3. (40 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP) usando un método de diferencias finitas. Considere b = 0

\frac{\delta u}{\delta t} = \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + b\frac{\delta u}{\delta x} 0<x<1, t>0

condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1

condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1

a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t

b) estime el error.

Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).

2Eva_IIT2018_T2 Kunge Kutta 2do Orden x»

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) Se tiene una ecuación diferencial de segundo orden con valores inciales.

\frac{\delta ^2 x}{\delta t^2} + 5t\frac{\delta x}{\delta t} +(t+7)\sin (\pi t) = 0 0<t<2 x(0)=6,\frac{\delta x}{\delta t}(0) = 1.5

a) Transforme la ecuación en un sistema de primer orden.

b) Use el método de Runge-Kutta de orden 2 (modificado de Euler) con h=0.2 para aproximar x para 3 pasos.

c) Estime el error.

Rúbrica: literal a, aplica el cambio de variables (5 puntos).
literal b, Conoce una fórmula de RK2orden (5 puntos). Plantea la fórmula de RK2 orden al sistema (5 puntos). Realiza al menos 3 pasos (5 puntos).
literal c, conoce las fórmulas del error hasta (5 puntos), calcula el error hasta (5 puntos)

 

2Eva_IIT2018_T1 Masa entra o sale de un reactor

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor químico durante un periodo específico de tiempo. https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico

M = \int^{t_2}_{t_1}Q(t)C(t) dt

t : min
C(t) : mg/m3
Q(t) : m3/min

a) Con los datos mostrados en la tabla y usando los métodos de Simpson 1/3 y 3/8, aproxime la cantidad de masa que sale de un reactor entre t1=0 y t2=25 min.

t 0 5 10 15 20 25
C(t) 10 18 27 35 40 30
Q(t) 4 6 7 6 5 5

b) Estime el error

Rúbrica: Conoce los métodos de Simpson hasta (5 puntos), Calcula la función a integrar hasta (5 puntos), Separa los intervalos hasta (5 puntos), Aplica las fórmulas correctamente hasta (5 puntos). Literal b, conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula los errores (5 puntos)

Referencia: Chapra problema 24.4 p693 pdf717. Reactor químico, https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico

t = [0,5,10,15,20,25]
C = [10,18,27,35,40,30]
Q = [4,6,7,6,5,5]

2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular

2da Evaluación I Término 2010-2011. 31/Agosto/2010. ICM00158

Tema 2. La ecuación de un movimiento angular está dada por

y'' + 10 \sin (y) =0 0\leq t \leq 1 y(0)=0, y'(0)=0.1

Empleando el método de Runge-Kutta de 4to orden generalizado y un paso de 0.25, aproximar la solución de la ecuación en t=0.50


Referencia:  Chapra 28.4 p842 pdf 866

https://nitanperdida.com/2017/12/24/banos-y-el-columpio-del-fin-del-mundo/
BAÑOS DE AGUA SANTA Y EL COLUMPIO DEL FIN DEL MUNDO