3Eva_IT2019_T3 Difusión en sólidos

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos).  En el año 1855, los experimentos de Adolf Fick tratan sobre la medición de concentraciones y sus flujos, también ahora aplicados a la difusión en sólidos que en ese tiempo no se consideraba posible.

La gráfica muestra los cambios en el tiempo de concentración Φ de un gas en un sólido (estado no-estacionario) para un sólido semi infinito (eje y).

La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}

Φ(0, t) = 5; Φ(L, t) = 0; Φ(x,0) = 0; D = 0.16; L =0.1

a. Plantee las ecuaciones, la malla, desarrolle y obtenga el modelo Φ(xi,tj)
b. Aproxime la solución con Δx = 0.02, Δt = Δx/100. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
c. Estime el error de Φ(xi,tj)

Rúbrica: Construir la malla (5 puntos), plantear la ecuación en el nodo i,j (5 puntos), modelo de ecuación (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Fick;
Difusión 2ª Ley de Fick|7/22|UPV (2011) https://www.youtube.com/watch?v=HHBvZDNvTic

3Eva_IT2019_T2 Integral con interpolación

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Construya un polinomio que aproxime a f(x) = sin(\pi x) usando los puntos x=0, π/4, π/2 y aproxime la integral de 0 a π/2.

a. Realice la interpolación mediante el método de trazador cúbico fijo
b. Integre usando el método de cuadratura de Gauss
c. Estime el error para el ejercicio.

Rúbrica: Bosquejo de gráficas (5 puntos), literal a, planteo de fórmulas (5 puntos), calcula los parámetros (10 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos).

3Eva_IT2019_T1 Ecuaciones simultáneas

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos).  Deteremine las raíces de las ecuaciones simultáneas siguientes:

y = -x^2 +x + 0.75 y+5xy=x^3

a. Realice un bosquejo para cada ecuación
b. Use el método de Newton-Raphson con x0=1 , y0=0.75, realice 3 iteraciones
c. Estime el orden del error

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b planteo (5 puntos), iteraciones (15 puntos), literal c (5 puntos)

3Eva_IIT2018_T3 EDO

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 3. (40 puntos)

y'' = 2y'-y +xe^{x} -x

0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0
y(2) = -4

a. Use las fórmulaas en diferencias finitas para aproximar las soluciones en los nodos indicados con h = 0.25
b. Estime el error

c. Con los puntos calculados, construya el trazador cúbico natural

Rúbrica: Plantear malla (5 puntos), plantear método (5 puntos), desarollo de la ecuación (10 puntos), planteo del error (5 puntos), obtención del trazador (10 puntos)

3Eva_IIT2018_T2 Drenar tanque cilíndrico

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) En un tanque cilíndrico vertical, al abrir una válvula en la base el agua fluirá rápidamente cuando el tanque esté lleno; conforme el tanque se vacía irá fluyendo más lentamente.

Si la rapidez a la que disminuye el nivel del agua es:

\frac{\delta y}{\delta t} = -k\sqrt{y}

Donde k es una constante que depende del área de la sección transversal del tanque y del orificio de salida.

La profundidad el agua «y» se mide en pies; y el tiempo t en minutos.

Si k=0.5 e inicialmente el nivel del fluido es de 9 pies. ¿Cuál es el tiempo mínimo para que la altura del taque sea inferior a 6 pies?

a. Utilice el método de Taylor de segundo orden para resolver este problema con h= 0.5 minutos

b. Estime el error en cada paso.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), valor numérico (5 puntos), planteo del error(5 puntos), valor del error (5 puntos)

3Eva_IIT2018_T1 Integral Doble con Cuadratura de Gauss

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Aproxime el resultado de la integral doble:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{\sin (x)}^{\cos (x)} \Big( 2y \sin(x) + \cos ^2 (x) \Big) \delta y \delta x

a. Use el método de cuadratura de Gauss de dos términos en cada eje

b. Determine el error al comparar el resultado numérico con el valor exacto.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo (10 puntos), plantear el error (10 puntos), valor del error (5 puntos)

3Eva_IT2018_T3 EDP Parabólica, temperatura en varilla

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 3. (30 puntos) La temperatura u(x,t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de calor. Si se genera calor en el material (por ejemplo, debido a la resistencia de la corriente), la ecuación se convierte en:

\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{Kr}{\rho C} = K\frac{du}{dt} 0 \lt x \lt L, 0 \lt t
Donde: Suponga que:
L es la longitud, L =  1.5 cm
ρ es la densidad, ρ = 10.6 g/cm3
C es el calor específico C = 0.056 cal/g deg
K es la difusividad térmica de la varilla K = 1.04 cal/cm deg s
La función r = r(x,t,u) representa el calor generado por unidad de volumen. r(x,t,u) = 5 cal/g deg

Si los extremos de la varilla se mantienen a 0°C, entonces

u(0,t) = u(L,t) = 0, t>0

Suponga que la distribución inicial de la temperatura está dada por:

u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi x}{L} \Big), 0 \le x \le L

Aproxime la distribución de la temperatura con h=0.25, k=0.025 para t=3k


Referencia: Burden 9ed Chapter 12 exercise 18 p738

3Eva_IT2018_T2 Drenaje de estanque

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 2. (40 puntos) Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura.

Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:

\frac{dh}{dt} = -\frac{\pi d^2}{4A(h)}\sqrt{2g(h+e)}

 
Donde:
h = profundidad (m),
t = tiempo (s),
d = diámetro del tubo (m),
A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2),
g = constante gravitacional (9,81 m/s2) y
e es la profundidad de salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m).

Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vacie, dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 0.3 m.

h 6 5 4 3 2 1 0
A(h) 1.17 0.97 0.67 0.45 0.32 0.18 0.02

a) Con las profundidades 0, 2, 4, 6, encuentre un modelo de trazador cúbico natural para modelar el área A(h) y calcule el error en h = 5 m

b) Use el método de Taylor de segundo orden con dt=1 s para aproximar el tiempo en que la profundidad es 3 m.

Rúbrica: literal a (20 puntos), literal b (20 puntos)


hi = np.array([6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
Ai = np.array([1.17, 0.97, 0.67, 0.45, 0.32, 0.18, 0.02])

Referencia: Chapra Ejercicio 28.24 p849, pdf873

Video: Superestructuras: la presa Hoover

3Eva_IT2018_T1 Intersección de círculos

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:

(x-4)^2 + (y-4)^2 = 5 x^2 + y^2 = 16

a) Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales.

b) Encuentre aproximaciones refinadas con el Método de Newton-Raphson

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b  (20 puntos)


Referencia: Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra