3Eva_IIT2019_T4 completar polinomio de interpolación

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 4. (25 puntos) Una función f(x) en el intervalo [0,1] está definida por el trazador cúbico natural S(x):

S_0(x) = 1 + 1.1186x + 0.6938 x^3

 0.0 ≤ x ≤ 0.4

S_1(x) = 1.4918 + 1.4516(x-0.4) + c(x-0.4)^2 +d(x-0.4)^3

0.4 ≤ x ≤ 0.6

S_2(x) = 1.8221 + 1.8848(x-0.6) + +1.3336(x-0.6)^2 - 1.1113(x-0.6)^3

0.6 ≤ x ≤ 1.0

Sin embargo, el papel donde se registraron los polinomios sufrió un percance que no permite leer algunos valores para S1(x).

a) Realice las operaciones necesarias para encontrar os valores: c, d
b) Use el método de Newton para resolver la ecuación S(x) = 1.6

Rúbrica: plantear las condiciones(10 puntos), resolver el sistema (5 puntos), literal b (10 puntos)

3Eva_IIT2019_T3 Preparación de terreno en refineria

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) Para valorar la preparación de terreno en una planta procesadora de Refinería, se requiere estimar el volumen de remoción.

Para una sección rectangular, se dispone de las alturas sobre el nivel del mar del terreno en una cuadrícula antes de los trabajos, siendo el nivel requerido de 220 m en toda el área.

Nivel inicio (m) 0 50 100 150 200
0 241 239 238 236 234
25 241 239 237 235 233
50 241 239 236 234 231
75 242 239 236 232 229
100 243 239 235 231 227

Usando los métodos de integración numérica determine el volumen de material para ésta actividad.

a) Determine el volumen de remoción
b) Exprese y determine el error de aproximación para el volumen

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)

Referencias: Liquidar Refinería del Pacífico tardaría años. 27 de enero, 2020. www.eluniverso.com.
https://www.eluniverso.com/noticias/2020/01/27/nota/7710855/refineria-pacifico-liquidacion-rafael-correa-activos-ministerio
Inicia liquidación de la Refinería del Pacífico. 16-03-2019. vistazo.com.
https://www.vistazo.com/seccion/politica-nacional/inicia-liquidacion-de-la-refineria-del-pacifico

 

3Eva_IIT2019_T2 Diferenciación, valor en frontera

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 2. (25 Puntos)) Aproxime la solución del problema de valor de frontera para la ecuación mostrada, usando diferenciación numérica con h = 1/4

y'' = -(x+1)y' + 2y + (1-x^2) e^{-x}

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = -1
y(1) = 0

a) Plantee las derivadas en diferencias divididas
b) Formule y simplifique la ecuación de diferencias divididas para el problema para cada punto interno de la tabla
c) Presente la forma matricial del sistema de ecuaciones
d) Encuentre los valores intermedios de y(xi) en la tabla, i = 1, 2, 3
e) Estime el error

i 0 1 2 3 4
xi 0 1/4 1/2 3/4 1
yi -1 0

Rúbrica: Plantear las derivadas (5 puntos), plantear la ecuación en forma discreta (5 puntos), matriz del sistema de ecuaciones (5 puntos), estimar el error (5 puntos)

3Eva_IIT2019_T1 Lanzamiento de Cohete

3ra Evaluación II Término 2019-2020. 11/Febrero/2020. MATG1013

Tema 1. (25 Puntos)
En el lanzamiento de un cohete se midieron las alturas alcanzadas a intervalos regulares de tiempo, mostradas en la siguiente tabla:

t s 0 25 50 75 100 125
y(t) Km 0 32 58 78 92 100

Usando tres puntos, se requiere obtener el polinomio de grado 2 que describe la función de altura y(t) a partir de los datos obtenidos, usando interpolación

a) Realice la tabla de diferencias finitas
b) Plantee el polinomio de interpolación con diferencias finitas avanzadas
c) A partir del polinomio obtenido, escriba las funciones de velocidad y’(t)
y aceleración y’’(t) en cada punto de la tabla

Rúbrica: literal a (5 puntos) literal b (5 puntos), literal c (15 puntos)

Referencias: Batalla por la luna, el programa Apolo.History Latinoamérica

3Eva_IT2019_T3 Difusión en sólidos

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 3. (30 Puntos).  En el año 1855, los experimentos de Adolf Fick tratan sobre la medición de concentraciones y sus flujos, también ahora aplicados a la difusión en sólidos que en ese tiempo no se consideraba posible.

La gráfica muestra los cambios en el tiempo de concentración Φ de un gas en un sólido (estado no-estacionario) para un sólido semi infinito (eje y).

La segunda ley de Fick predice la forma en que la difusión causa que la concentración cambie con el tiempo. Se trata de una ecuación diferencial parcial que en una dimensión se escribe:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}

Φ(0, t) = 5; Φ(L, t) = 0; Φ(x,0) = 0; D = 0.16; L =0.1

a. Plantee las ecuaciones, la malla, desarrolle y obtenga el modelo Φ(xi,tj)
b. Aproxime la solución con Δx = 0.02, Δt = Δx/100. Realice al menos tres iteraciones en el eje tiempo.
c. Estime el error de Φ(xi,tj)

Rúbrica: Construir la malla (5 puntos), plantear la ecuación en el nodo i,j (5 puntos), modelo de ecuación (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Fick;
Difusión 2ª Ley de Fick|7/22|UPV (2011) https://www.youtube.com/watch?v=HHBvZDNvTic

3Eva_IT2019_T2 Integral con interpolación

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 2. (40 Puntos) Construya un polinomio que aproxime a

f(x) = sin(\pi x)

usando los puntos x=0, π/4, π/2 y aproxime la integral de 0 a π/2.

a. Realice la interpolación mediante el método de trazador cúbico fijo
b. Integre usando el método de cuadratura de Gauss
c. Estime el error para el ejercicio.

Rúbrica: Bosquejo de gráficas (5 puntos), literal a, planteo de fórmulas (5 puntos), calcula los parámetros (10 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos).

3Eva_IT2019_T1 Ecuaciones simultáneas

3ra Evaluación I Término 2019-2020. 10/Septiembre/2019. MATG1013

Tema 1. (30 Puntos).  Deteremine las raíces de las ecuaciones simultáneas siguientes:

y = -x^2 +x + 0.75 y+5xy=x^3

a. Realice un bosquejo para cada ecuación
b. Use el método de Newton-Raphson con x0=1 , y0=0.75, realice 3 iteraciones
c. Estime el orden del error

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b planteo (5 puntos), iteraciones (15 puntos), literal c (5 puntos)

3Eva_IIT2018_T3 EDO

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 3. (40 puntos)

y'' = 2y'-y +xe^{x} -x

0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 0
y(2) = -4

a. Use las fórmulaas en diferencias finitas para aproximar las soluciones en los nodos indicados con h = 0.25
b. Estime el error

c. Con los puntos calculados, construya el trazador cúbico natural

Rúbrica: Plantear malla (5 puntos), plantear método (5 puntos), desarollo de la ecuación (10 puntos), planteo del error (5 puntos), obtención del trazador (10 puntos)

3Eva_IIT2018_T2 Drenar tanque cilíndrico

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) En un tanque cilíndrico vertical, al abrir una válvula en la base el agua fluirá rápidamente cuando el tanque esté lleno; conforme el tanque se vacía irá fluyendo más lentamente.

Si la rapidez a la que disminuye el nivel del agua es:

\frac{\delta y}{\delta t} = -k\sqrt{y}

Donde k es una constante que depende del área de la sección transversal del tanque y del orificio de salida.

La profundidad el agua «y» se mide en pies; y el tiempo t en minutos.

Si k=0.5 e inicialmente el nivel del fluido es de 9 pies. ¿Cuál es el tiempo mínimo para que la altura del taque sea inferior a 6 pies?

a. Utilice el método de Taylor de segundo orden para resolver este problema con h= 0.5 minutos

b. Estime el error en cada paso.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo de la ecuación (10 puntos), valor numérico (5 puntos), planteo del error(5 puntos), valor del error (5 puntos)

3Eva_IIT2018_T1 Integral Doble con Cuadratura de Gauss

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Aproxime el resultado de la integral doble:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{\sin (x)}^{\cos (x)} \Big( 2y \sin(x) + \cos ^2 (x) \Big) \delta y \delta x

a. Use el método de cuadratura de Gauss de dos términos en cada eje

b. Determine el error al comparar el resultado numérico con el valor exacto.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo (10 puntos), plantear el error (10 puntos), valor del error (5 puntos)