3Eva_IIT2009_T3 Sistema de ecuaciones

3ra Evaluación II Término 2009-2010. 23/Febrero/2010. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Enunciar el teorema de convergencia del método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX=B.

Exponer el método iterativo de Gauss-Seidel para sistemas ecuaciones lineales.

Construir un ejemplo de un sistema de 3×3, cuya diagonal principal sea estrictamente dominante y realizar cuatro iteraciones con el método de Gauss-Seidel, comenzando con el vector cero.

3Eva_IIT2009_T3 Integral doble

3ra Evaluación II Término 2009-2010. 23/Febrero/2010. ICM00158

Tema 3. (25 puntos) Calcular la siguiente integral, con el algoritmo de la integral doble de Simpson:

\int_R \int x^2 (\sqrt{9 - y^2}) \delta A

Donde R es la región acotada por: x2+y2 =9 . Usar n=m=4

3Eva_IIT2009_T2 Valor inicial Runge-Kutta 4to orden dy/dx

3ra Evaluación II Término 2009-2010. 23/Febrero/2010. ICM00158

Tema 2. (25 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial

(1-x^2)y' - xy = x (1-x^2) 0\leq x \leq \frac{1}{2} y(0)=2

Usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden:

a. Escriba el algoritmo para la función específica f(x,y)

b. Escriba la tabla de resultados para h=0.1

3Eva_IIT2009_T1 Ladera submarina

3ra Evaluación II Término 2009-2010. 23/Febrero/2010. ICM00158

Tema 1. (25 puntos) Para aproximar la profundidad de una ladera submarina se han hecho mediciones, las cuales relacionan la profundidad de la ladera, expresada en m, con la distancia respecto a la orilla, expresada en km.

Empleando los datos que se dan a continuación, construya el trazador cúbico natural para aproximar la profundidad de la ladera a 1.5 km respecto a la orilla.

Distancia a orilla 0 1 2 3
Profundidad ladera 1 170 235 320

Escriba el sistema de ecuaciones del cual se obtienen los valores de ci.


distancia = [ 0, 1, 2, 3]
profundidad = [ 1, 170, 235, 320]

3Eva_IT2009_T4 EDO diferencias finitas

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial con el método de diferencias finitas, h=0.2

y'' + 2y' -y -2e^x + x - 4 = 0 0 \leq x \leq 1 y(0) = -1, y(1) = e-1

Rúbrica: Determinar algoritmo de diferencia centrada (10 puntos), sistema de ecuaciones (10 puntos), solución numérica (5 puntos)

3Eva_IT2009_T3 Integrar Simpson compuesta

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 3. (25 puntos) Aproxime el valor de la siguiente integral con ayuda de la fórmula compuesta de Simpson con n=6

\int_0^1 \frac{\cos (2x)}{x^{1/3}} \delta x

Rúbrica: Integración del polinomio de grado cuatro (10 puntos), integración del residuo con Simpson (10 puntos), Valor aproximado de la integral (5 puntos)

3Eva_IT2009_T2 EDO Taylor

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 2. (25 puntos) Resolver la ecuación diferencial usando el método de Taylor con n=2:

xy'+ 2y = \sin (x) \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} y\Big(\frac{\pi}{2} \Big) = 1

a. Establecer el algoritmo correspondiente para la ecuación dada

b. Escribir la tabla de resultados para h = π/10

Rúbrica: Determinación correcta de f(x,y(xi) )(2.5 puntos), establecimiento del algoritmo de Taylor (12.5 puntos), Solución numérica (10 puntos)

3Eva_IT2009_T1 Trazador cúbico fijo

3ra Evaluación I Término 2009-2010. 15/Septiembre/2009. ICM00158

Tema 1.  (25 puntos) Dado los valores de una función, construir el trazador cúbico fijo.

f(0) = 1,
f(0.25) = 1.14012
f(0.5) = 1.32436
f(0.75) = 1.5585

y con las derivadas, f'(0) = 0.5, f'(0.75) = 1.0585

a. Establecer el sistema para determinar los valores de ci

b. Aproximar f(0.15) y f(0.6)

Rúbrica: Sistema de ecuaciones (7.5 puntos), polinómios cúbicos (10 puntos), aproximación correcta de los puntos (7.5 puntos)


datos = [[0, 1],
         [0.25, 1.14012],
         [0.5 , 1.32436],
         [0.75, 1.5585 ]]

3Eva_IIT2008_T3_MN Función densidad de probabilidad

3ra Evaluación II Término 2008-2009. 3/Marzo/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (30 puntos) Para que la siguiente función sea útil en el cálculo de probabilidad, se debe encontrar el valor de k tal que el área bajo f(x) sea igual a 1.
f(x)=\begin{cases} kxe^{-x^2}, & x\geq 0\\ 0, & x\lt 0 \end{cases}

Encuentre un valor aproximado de k con el siguiente procedimiento.

a. Separe el integral en dos intervalos [0, 1], [1, ∞]. Mantenga k fuera del integral.

b. Integre en el intervalo[0,1] con la fórmula de Simpson (m=2)

c. Mediante un cambio de variable elimine el límite ∞ en el segundo intervalo e integre aplicando una vez la Cuadratura de Gauss. Recuerde que esta fórmula no requiere evaluar la función en los extremos del intervalo de integración.

d. Obtenga el valor de k igualando a 1 la suma de los dos resultados anteriores

3Eva_IIT2008_T2_MN Sistema de ecuaciones

3ra Evaluación II Término 2008-2009. 3/Marzo/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX=B:

A = [a_{i,j}], B[b_i] a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}, b_i = i^{2} 1\leq i,j\leq 3

a. Determine el nivel de mal condicionamiento de A con la definición:

cond(A) = ||A|| ||A-1||

b. Obtenga el vector solución X e indique si esta solución es confiable.

Use el método de Gauss-Jordan partiendo de la matriz aumentada, ABI. Al transformar la matriz A en I, las transformaciones aplicadas simultáneamente al vector B, lo convertirán en la solución. El proceso también afecta a la matriz I que se convierte en A-1 .

Use 4 decimales sin redondear en sus cálculos.