3Eva_IT2012_T4 EDO, deducir con diferencias finitas

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 4. Deducir el método de diferencias finitas para el problema de valor de frontera:

y''= p(x) y' + q(x) y + r(x) a\leq x \leq b y(a)= \alpha y(b)= \beta

Para las derivadas, usar las fórmulas de diferencia centrada. Las funciones son continuas en [a,b].

3Eva_IT2012_T1 Valor inicial

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 3. Deducir el método iterativo del punto medio para el problema de valor inicial:
\begin{cases} y'= f(t,y), a\leq t \leq b \\ y(a) = \alpha \end{cases}
a partir de  y(ti+1) = y(ti) + h T(2) (ti, y(ti))

Donde h es el tamaño de paso.

3Eva_IT2012_T2 factor de compensación

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 2. Un sistema de compensación para un estudiante que hace una maestría o Doctorado en el extranjero utiliza un trazador cúbico natural para establecer el factor f(x) de ayuda de acuerdo con la siguiente tabla:

x 1.0 1.3 1.7 2.0
f(x) 2.0 2.3 3.3 3.5

x, nivel de vida del país; f(x), factor de ayuda

a. Encuentre el trazador cúbico natural (S»(1) = 0, S»(2) = 0).

b. Aproxime la integral de f(x) desde x=1, hasta x=2, empleando el resultado obtenido en el literal a.


xi = [ 1.0, 1.3, 1.7, 2.0]
fi = [ 2.0, 2.3, 3.3, 3.5]

3Eva_IT2012_T1 Sistema Ecuaciones no lineales

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 1. Dado el sistema de ecuaciones no lineales

3x2 + 3y2 – 15 = 0
2x2 y – 1 = 0
x∈R;   ≥ 1

a. Realice un bosquejo gráfico y especifique el número de soluciones del sistema.

b. Determine la ecuación en términos de una variable para resolver el sistema.

c. Justifique un intervalo donde se encuentre la solución de la ecuación planteada en literal b.

d. Aproxime la solución empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-6.

e. Escriba correctamente la solución hallada.

3Eva_IIT2011_T3_MN Integral Simpson

3ra Evaluación II Término 2011-2012. 14/Febrero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (35 puntos) Dados los cinco puntos cuyas coordenadas son:

x    = [0.0, 0.25,   0.5,    0.75,   1.0   ]
f(x) = [1.0, 1.3210, 1.8244, 2.5878, 3.7183] 

Para evaluar la precisión de los métodos numéricos se desea calcular el valor de

A = \int_0^1 f(x) \delta x

y estimar el error en el resultado

a. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.5

b. Con la fórmula de Simpson calcule el valor de A usando una parábola con h = 0.25

c. Haga una primera estimación del error comparando estos dos resultados

d. Con la fórmula del error de truncamiento, haga una nueva estimación del error aproximando el valor de la derivada con el valor tabulado de la diferencia finita respectiva.

e. Encuentre el error exacto en el resultado calculado de A comparando con el valor obtenido integrando la función de donde provienen los datos dados:
f(x) = xex + 1

 

3Eva_IIT2011_T2_MN Sistema de Ecuaciones

3ra Evaluación II Término 2011-2012. 14/Febrero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (35 puntos) Dados los datos
(x, f(x)): (1,3), (2,5), (3,4), (4,1)
que pertenecen a la ecuación:

ax3 + bx2 + cx + d = f(x)

a. Sustituya cada dato en la ecuación y resuelva el sistema con el método de eliminación de Gauss

b. Suponga que el valor de x del primer punto se modifica a : (1.1, 3). Resuelva nuevamente el sistema con el método de eliminación de Gauss.

c. Contruya un vector con el valor absoluto de las diferencias entre los valores de X del literales a, b y otro vector con  la diferencia entre los coeficientes a, b, c, d obtenidos los literales a y b respectivamente.
Calcule la norma de ambos vectores y comente acerca del sistema y de la eficiencia de usar este método para obtener el polinomio de interpolación comparado con otros métodos.

3Eva_IIT2011_T1_MN Precios mensuales

3ra Evaluación II Término 2011-2012. 14/Febrero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Suponga que el precio de un producto f(x) depende del tiempo x en el que se lo ofrece al mercado con la siguiente relacion:

f(x) = 25x e^{-0.1x} 0\leq x \leq 12

en donde x es tiempo en meses.

Se desea determinar el dia en el que el precio sube a 80.

a. Evalúe f con x en meses hasta que localice una raíz real (cambio de signo) y trace la forma aproximada de f(x)

b. Use el Método de Newton para calcular la respuesta (mes) con precisión 10-4. Exprese esta respuesta en días (1mes = 30 días)

c. Encuentre el día en el cual el precio será máximo. Use el método de Newton con precisión 10-4

3Eva_IT2011_T3_MN Arco Semielíptico

3ra Evaluación I Término 2011-2012. 13/Septiembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. (35 puntos) Una empresa debe construir un arco con forma semielíptica como se indica en la figura.

Modelo Elíptico:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Longitud:

2 \int_0^2 \sqrt{1+(y')^2} \delta x

Para asignar recursos se debe calcular su longitud.

a. Encuentre la longitud del arco mediante una aproximación de la integral con el método de la Cuadratura de Gauss con n=2 subintervalos

b. Encuentre el área bajo la curva y la cota del error, utilizando el método de Simpson 1/3, n=4

3Eva_IT2011_T2_MN Importación combustible

3ra Evaluación I Término 2011-2012. 13/Septiembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (35 puntos) La importación de combustible por año en un país de Centroamérica en el 2004 (año 0) fue de 15527 de miles de barriles de 42 galones.

El crecimiento anual de las importaciones de combustible en % se indica en la tabla

Año % Incremento anual
1 (1 ene. 2005 – 31 dic 2005) -2.0
2 (1 ene. 2006 – 31 dic 2006) 9.7
3 (1 ene. 2007 – 31 dic 2007) 16.4
4 (1 ene. 2008 – 31 dic 2008) 9.9

a. Encuentre el polinomio de interpolación para estimar el crecimiento anual al final del tercer mes del año 2. Use el polinomio de Lagrange o el polinomio de Newton. Muestre el desarrollo.

b. Aproxime la primera y segunda derivada al final de los años 2 y Use fórmulas de segundo orden.

c. Explique lo que significa el valor de la primera derivada y segunda derivada del crecimiento anual de las importaciones de combustible al final de los años 2 y 3.


datos = [[1, -2.0],
         [2,  9.7],
         [3, 16.4],
         [4,  9.9]]

3Eva_IT2011_T1_MN Distribuidor de combustible

3ra Evaluación I Término 2011-2012. 13/Septiembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Un distribuidor de gasolina llena el depósito al inicio de cada semana. La proporción del contenido que vende semanalmente es una variable x  cuyo valor puede estar entre 0 y 1.

La probabilidad que ésta variable x esté en algún intervalo [a, b] ⊂ [0, 1] se obtiene integrando entre a y b el siguiente modelo

f(x) = 20 x3 (1+x).

Encuentre el intervalo [0, b] tal que la probabilidad sea igual a 0.5

Para calcular b use el método de Newton, muestre los valores intermedios.