3Eva_IT2015_T4 Fórmula central de orden 2

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 4. Dados los puntos x0, x1 y x2, con h constante y sus respectivas imágenes.

Deduzca la fórmula central de orden 2 para aproximar la segunda derivada en el punto x1 y estime el error.

3Eva_IT2015_T3 Poisson 3D

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. La ecuación de Poisson se puede escribir en tres dimensiones como

\frac{\delta ^2 T}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 T}{\delta y^2} + \frac{\delta ^2 T}{\delta z^2} = f(x, y ,z)

a. Plantee las Temperaturas dentro de un cubo unitario con condiciones de frontera cero y f = -10. Utilice Δx = Δy = Δz = 1/3

b. Utilice el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema en el literal a, (realice tres iteraciones y estime el error)

3Eva_IT2015_T2 Aproximar integral

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 2. Use cuadratura de Gauss de 2 términos tanto para el sentido en x como en y para aproximar la integral

I= \int_0^1 \int_0^1 e^{x^2+y^2} \delta y \delta x

a) Usando n=1 y m=1 (intervalos)
b) Usando n=2 y m=2 (intervalos)


Siendo n y m, el número de intervalos o tramos en el rango de cada eje.

3Eva_IT2015_T1 Valor de Frontera

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 1. El problema con valor de frontera

y» = y’+ 2y+ cos(x)
0 ≤ x ≤ π/2
y(0) = -0.3
y(π/2) = -0.1

a) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/4 y estime el error.

b) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/8 y estime el error.

3Eva_IIT2014_T3 Advección-difusión

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 3. La ecuación de advección-difusión se utiliza para calcular la distribución de la concentración que hay en el lado largo de un reactor químico rectangular,

\frac{\delta c}{\delta t} = D \frac{\delta^2c}{\delta x^2} - U\frac{\delta c}{\delta x} - kc

Donde:
c=concentración (mh/m3),
t= tiempo (min),
D=coeficiente de difusión (m2/min),
x= distancia a lo largo del eje longitudinal del tanque (m),

donde x=0 en la entrada del tanque,
U =velocidad en la dirección de x (m/min) y
k = tasa de reacción (1/min) con la que el producto químico se convierte en otro.

Desarrolle un esquema explícito para resolver esta ecuación en forma numérica. Pruébela para k=0.15, D=100 y U=1, para un tanque con una longitud de 10 m. Use Δx=1 m, y un Δt=0.005.

Suponga la concentración del flujo de entrada es de 100 y la concentración inicial en el tanque es de cero.

Realice la simulación de t=0 a 100 y grafique las concentraciones en cada tiempo versus x. (Solo dos iteraciones)

3Eva_IIT2014_T2 Crecimiento demográfico

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 2. Sea P(t) el número de individuos de una población en el tiempo t, medido en años.

Si la tasa de natalidad promedio b es constante y la tasa de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la sobrepoblación), entonces la tasa de crecimiento demográfico estará dada por la ecuación logística

\frac{\delta P(t)}{\delta t} = b P(t) - k[P(t)]^2

donde d = k P(t).

Suponga que P(0) = 50976, b = 2.9×10-2 y que k = 1.4×10-7.

Calcule la población después de 2 años, use h = 0.5 años y el método de Taylor de orden 2. Estime el error.

3Eva_IIT2014_T1 Integral en superficie

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 1. El área de la superficie descrita por z=f(x,y) para (x,y) en R está dada por

\int_R \int \sqrt{[f_x(x,y)]^2 + [f_y(x,y)]^2 +1} \delta A

Aproxime el valor de la integral con el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones con n = m = 2, para el área de la superficie en el hemisferio

x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0

que se encuentra arriba de la región R en el plano descrito por

R={(x,y)|, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}