s3Eva_IT2019_T3 Difusión en sólidos

Siguiendo el procedimiento planteado en la sección EDP parabólicas, se plantea la malla del ejercicio:

Para plantear la ecuación en forma discreta:

\frac{\phi_{i,j+1}-\phi_{i,j}}{\Delta t}=D\frac{\phi_{i+1,j}-2\phi_{i,j}+\phi_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}

y resolver usando el método explícito para ecuaciones parabólicas, obteniendo el siguiente resultado:

\phi_{i,j+1}-\phi_{i,j}=D\frac{\Delta t }{\Delta x^2}(\phi_{i+1,j}-2\phi_{i,j}+\phi_{i-1,j}) \lambda = D\frac{\Delta t }{\Delta x^2} \phi_{i,j+1}-\phi_{i,j}=\lambda (\phi_{i+1,j}-2\phi_{i,j}+\phi_{i-1,j}) \phi_{i,j+1} =\lambda \phi_{i+1,j}-2\lambda\phi_{i,j}+\lambda\phi_{i-1,j}+\phi_{i,j} \phi_{i,j+1} =\lambda \phi_{i+1,j}(1-2\lambda)\phi_{i,j}+\lambda\phi_{i-1,j} \phi_{i,j+1} =P \phi_{i+1,j}+Q\phi_{i,j}+R\phi_{i-1,j}

siendo:
P = λ = 0.16 (Δx/100)/Δx2 = 0.0016/Δx = 0.0016/0.02=0.08
Q = 1-2λ = 1-2*(0.08) = 0.84
R = λ =0.08

\phi_{i,j+1} =0.08 \phi_{i+1,j}+ 0.84\phi_{i,j}+0.08\phi_{i-1,j}

Iteración 1 en tiempo:
i=1, j=0

\phi_{1,1} =0.08 \phi_{2,0}+ 0.84\phi_{1,0}+0.08\phi_{0,0} \phi_{1,1} =0.08 (0)+ 0.84(0)+0.08(5)=0.4

i=2,j=0

\phi_{2,1} =0.08 \phi_{3,0}+ 0.84\phi_{2,0}+0.08\phi_{1,0} = 0

Para los proximos valores i>2, todos los resultados son 0

Iteración 2 en tiempo
i=1, j=1

\phi_{1,2} =0.08 \phi_{2,0}+ 0.84\phi_{1,0}+0.08\phi_{0,0}

\phi_{1,2} =0.08 (0)+ 0.84(0.4)+0.08(5)=0.736
i=2, j=1

\phi_{2,2} =0.08 \phi_{3,1}+ 0.84\phi_{2,1}+0.08\phi_{1,1} \phi_{2,2} =0.08(0)+ 0.84(0)+0.08(0.4) = 0.032

i=3, j=1

\phi_{3,2} =0.08\phi_{4,1}+ 0.84\phi_{3,1}+0.08\phi_{2,1}=0

Para los proximos valores i>3, todos los resultados son 0

Tarea: Desarrollar la iteración 3 en el tiempo.

siguiendo las iteraciones se tiene la siguiente tabla:

[[5.0, 0.000, 0.000, 0.00000, 0.00000 , 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],
 [5.0, 0.400, 0.000, 0.00000, 0.00000 , 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],
 [5.0, 0.736, 0.032, 0.00000, 0.00000 , 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],
 [5.0, 1.021, 0.085, 0.00256, 0.00000 , 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],
 [5.0, 1.264, 0.153, 0.00901, 0.00020, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]
...
]

Con lo que se obtiene la siguiente gráfica.

El resultado se interpreta mejor con una animación:

Tarea: Presentar el orden de error de la ecuación basado en las fórmulas de diferenciación


Algorirmo en Python

# 3EIT2019T4.Difusión en sólidos. 2da Ley de Fick
# EDP parabólicas. método explícito, usando diferencias finitas
# http://blog.espol.edu.ec/matg1013/3eva_it2018_t3-edp-parabolica-temperatura-en-varilla/
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
# Valores de frontera
Ta = 5
Tb = 0
T0 = 0
# longitud en x
a = 0
b = 0.1
# Constante K
K = 1/(1.6e-1)
# Tamaño de paso
dx = 0.02
dt = dx/100
# iteraciones en tiempo
n = 50

# PROCEDIMIENTO
# iteraciones en longitud
xi = np.arange(a,b+dx,dx)
m = len(xi)
ultimox = m-1

# Resultados en tabla u[x,t]
u = np.zeros(shape=(m,n), dtype=float)

# valores iniciales de u[:,j]
j=0
ultimot = n-1
u[0,j]= Ta
u[1:ultimox,j] = T0
u[ultimox,j] = Tb

# factores P,Q,R
lamb = dt/(K*dx**2)
P = lamb
Q = 1 - 2*lamb
R = lamb

# Calcula U para cada tiempo + dt
j = 0
while not(j>=ultimot):
    u[0,j+1] = Ta
    for i in range(1,ultimox,1):
        u[i,j+1] = P*u[i-1,j] + Q*u[i,j] + R*u[i+1,j]
    u[m-1,j+1] = Tb
    j=j+1

# SALIDA
print('Tabla de resultados')
np.set_printoptions(precision=2)
print(u)

# Gráfica
salto = int(n/10)
if (salto == 0):
    salto = 1
for j in range(0,n,salto):
    vector = u[:,j]
    plt.plot(xi,vector)
    plt.plot(xi,vector, '.r')
plt.xlabel('x[i]')
plt.ylabel('phi[i,j]')
plt.title('Solución EDP parabólica')
plt.show()

La animación se complementa con lo mostrado en la sección de Unidades.

s3Eva_IT2019_T2 Integral con interpolación

El ejercicio considera dos partes: interpolación e integración

a. Interpolación

Se requiere aproximar la función usando tres puntos. Para comprender la razón del método solicitado, se compara la función con dos interpolaciones:

a.1 Lagrange
a.2 Trazador cúbico sujeto

Observando la gráfica se aclara que en éste caso, una mejor aproximación se obtiene con el método  de trazador cúbico sujeto. Motivo por lo que el tema tiene un peso de 40/100 puntos

Los valores a considerar para la evaluación son:

puntos referencia xi,yi: 
[0.         0.78539816 1.57079633]
[ 0.          0.62426595 -0.97536797]
derivadas en los extremos:  
    3.141592653589793 
    0.6929852019184021
Polinomio de Lagrange
-1.80262534301178*x**2 + 2.21061873102778*x
Trazadores cúbicos sujetos
[0.         0.78539816]
-0.548171611756137*x**3 - 2.55744517923506*x**2 + 3.14159265358979*x

[0.78539816 1.57079633]
4.66299098804068*x**3 - 14.8359577843727*x**2 + 12.7851139029174*x - 2.52466795930204

------------------
Valores calculados para Trazadores cúbicos sujetos:
Matriz A: 
[[-0.26179939 -0.13089969  0.        ]
 [ 0.78539816  3.14159265  0.78539816]
 [ 0.          0.13089969  0.26179939]]
Vector B: 
[  2.34675256 -16.9893436    2.72970237]
coeficientes S: 
[-5.11489036 -7.69808822 14.27573913]
coeficientes a,b,c,d
[-0.54817161  4.66299099]
[-2.55744518 -3.84904411]
[ 3.14159265 -1.89005227]
[0.         0.62426595]

b. Integración

Como forma de comparacíon de resultados, se requiere integrar con varios métodos para comparar resultados y errores.

b.1 Integración con Cuadratura de Gauss, usando el resultado de trazador cúbico.

Se integra en cada tramo de cada polinomio:

Trazadores cúbicos sujetos
[0.         0.78539816]
-0.548171611756137*x**3 - 2.55744517923506*x**2 + 3.14159265358979*x

Se obtienen los puntos del método de cuadratura desplazados en el rango:

xa:  0.16597416116944688
xb:  0.6194240022280014
area:  0.5037962958529855

Para el segundo tramo:

[0.78539816 1.57079633]
4.66299098804068*x**3 - 14.8359577843727*x**2 + 12.7851139029174*x - 2.52466795930204
xa:  0.9513723245668951
xb:  1.4048221656254496
area:  -0.2706563884589365

Con lo que el integral total es:

Integral total:  0.23313990739404894

b.2 Integración analítica

\int_0^{\pi /2}sin(\pi x) dx

u = πx
du/dx = π
dx = du/π

se convierte en:

\frac{1}{\pi}\int sin(u) du \frac{1}{\pi}(-cos(u))

volviendo a la variable x:

\frac{1}{\pi}(-cos(\pi x)) \Big\rvert_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\frac{1}{\pi}(cos(\pi \frac{\pi}{2})-cos(\pi(0))) = 0.24809580527879377

c. Estimación del error

Se restan los resultados de las secciones b.1 y b.2

error = |0.24809580527879377 – 0.23313990739404894 |

error = 0.014955897884744829


Algoritmo en Python

separado por literales

# 3Eva I T 2019 Interpola e Integra
import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

def interpola_lagrange(xi,yi):
    '''
    Interpolación con método de Lagrange
    resultado: polinomio en forma simbólica
    '''
    # PROCEDIMIENTO
    n = len(xi)
    x = sym.Symbol('x')
    # Polinomio
    polinomio = 0
    for i in range(0,n,1):
        # Termino de Lagrange
        termino = 1
        for j  in range(0,n,1):
            if (j!=i):
                termino = termino*(x-xi[j])/(xi[i]-xi[j])
        polinomio = polinomio + termino*yi[i]
    # Expande el polinomio
    polinomio = polinomio.expand()
    return(polinomio)

def traza3sujeto(xi,yi,u,v):
    '''
    Trazador cúbico sujeto, splines
    resultado: polinomio en forma simbólica
    '''
    n = len(xi)
    # Valores h
    h = np.zeros(n-1, dtype=float)
    # Sistema de ecuaciones
    A = np.zeros(shape=(n,n), dtype=float)
    B = np.zeros(n, dtype=float)
    S = np.zeros(n-1, dtype=float)
    # coeficientes
    a = np.zeros(n-1, dtype=float)
    b = np.zeros(n-1, dtype=float)
    c = np.zeros(n-1, dtype=float)
    d = np.zeros(n-1, dtype=float)
    
    polinomios=[]
    
    if (n>=3):
        for i in range(0,n-1,1):
            h[i]=xi[i+1]-xi[i]
        A[0,0] = -h[0]/3
        A[0,1] = -h[0]/6
        B[0] = u-(yi[1]-yi[0])/h[0]
        for i in range(1,n-1,1):
            A[i,i-1] = h[i-1]
            A[i,i] = 2*(h[i-1]+h[i])
            A[i,i+1] = h[i]
            B[i] = 6*((yi[i+1]-yi[i])/h[i] - (yi[i]-yi[i-1])/h[i-1])
        A[n-1,n-2] = h[n-2]/6
        A[n-1,n-1] = h[n-2]/3
        B[n-1] = v-(yi[n-1]-yi[n-2])/h[n-2]

        # Resolver sistema de ecuaciones
        S = np.linalg.solve(A,B)

        # Coeficientes
        for i in range(0,n-1,1):
            a[i]=(S[i+1]-S[i])/(6*h[i])
            b[i]=S[i]/2
            c[i]=(yi[i+1]-yi[i])/h[i]-(2*h[i]*S[i]+h[i]*S[i+1])/6
            d[i]=yi[i]
      
        # polinomio en forma simbólica
        x=sym.Symbol('x')
        polinomios=[]
        for i in range(0,n-1,1):
            ptramo = a[i]*(x-xi[i])**3 + b[i]*(x-xi[i])**2 + c[i]*(x-xi[i])+ d[i]
            ptramo = ptramo.expand()
            polinomios.append(ptramo)
        parametros = [A,B,S,a,b,c,d]                                                           
    return(polinomios, parametros)

# INGRESO
f = lambda x: np.sin(np.pi*x)
muestrasf = 20
a = 0
b = np.pi/2
# Derivadas en los extremos
u = np.pi*np.cos(np.pi*a)
v = np.pi*np.cos(np.pi*b)
muestras = 3

# literal a
# PROCEDIMIENTO
xif = np.linspace(a,b,muestrasf)
yif = f(xif)

xi = np.linspace(a,b,muestras)
yi = f(xi)

# Usando Lagrange
x = sym.Symbol('x')
pL = interpola_lagrange(xi,yi)
pxL = sym.lambdify(x,pL)
pxiL =  pxL(xif)

# Trazador cúbico sujeto
pS, parametros = traza3sujeto(xi,yi,u,v)
pxiS = np.zeros(muestrasf,dtype=float)

# Evalua trazadores cúbicos sujetos
i=0
ap = xi[i]
bp = xi[i+1]
poli = sym.lambdify(x, pS[i])
for j in range(0,muestrasf,1):
    punto = xif[j]
    if (punto>bp):
        i = i+1
        ap = xi[i]
        bp = xi[i+1]
        poli = sym.lambdify(x,pS[i])
    pxiS[j] = poli(punto)

# SALIDA
print('puntos referencia xi,yi: ')
print(xi)
print(yi)
print('derivadas en los extremos: ',u,v)
print('Polinomio de Lagrange')
print(pL)
print('Trazadores cúbicos sujetos')
n = len(xi)
for i in range(0,n-1,1):
    print(xi[i:i+2])
    print(pS[i])
# Parametros de Trazadores cúbicos sujetos
print('Matriz A: ')
print(parametros[0])
print('Vector B: ')
print(parametros[1])
print('coeficientes S: ')
print(parametros[2])
print('coeficienetes a,b,c,d')
print(parametros[3])
print(parametros[4])
print(parametros[5])
print(parametros[6])

# Gráficas
plt.plot(xif,yif, label='funcion')
plt.plot(xi,yi,'o', label='muestras')
plt.plot(xif,pxiL, label='p(x)_Lagrange')
plt.plot(xif,pxiS, label='p(x)_Traza3Sujeto')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.show()

# literal b
# cuadratura de Gauss de dos puntos
def integraCuadGauss2p(funcionx,a,b):
    x0 = -1/np.sqrt(3)
    x1 = -x0
    xa = (b+a)/2 + (b-a)/2*(x0)
    xb = (b+a)/2 + (b-a)/2*(x1)
    area = ((b-a)/2)*(funcionx(xa) + funcionx(xb))
    print('xa: ',xa)
    print('xb: ',xb)
    print('area: ', area)
    return(area)

# INGRESO
f0 = sym.lambdify(x,pS[0])
f1 = sym.lambdify(x,pS[1])
# Procedimiento
I0 = integraCuadGauss2p(f0,xi[0],xi[1])
I1 = integraCuadGauss2p(f1,xi[1],xi[2])
It = I0+I1

# SALIDA
print('Integral 1: ', I0)
print('Integral 2: ', I1)
print('Integral total: ',It)

s3Eva_IT2019_T1 Ecuaciones simultáneas

Para plantear la intersección de las ecuaciones se pueden simplificar como:

y_1 = -x^2 +x + 0.75 y+5xy=x^3 y(1+5x)=x^3 y_2=\frac{x^3}{1+5x}

Quedando dos ecuaciones simplificadas:

y_1 = -x^2 +x + 0.75 y_2 = \frac{x^3}{1+5x}

cuyas gráficas son:

dónde se puede observar la intersección alrededor de 1.3

Restando ambas ecuaciones, se tiene que encontrar el valor de x para que el resultado sea cero.

y_1(x)-y_2(x)= -x^2 +x + 0.75 -\frac{x^3}{1+5x} f(x) = -x^2 +x + 0.75 -\frac{x^3}{1+5x} = 0

Para encontrarla derivada se procesa la expresión:

(1+5x)(-x^2 +x + 0.75) -x^3 = 0(1+5x) -6x^3+4x^2+4.75x+0.75 = 0 f'(x)= -18x^2 +8x + 4.75

Se usa el punto inicial x0=1 definido en el enunciado y se realizan las iteraciones siguiendo el algoritmo.

Se tiene que la raiz es:

raiz en:  1.3310736382369661
 [  xi, 	 xnuevo,	 fxi,	 dfxi, 	 tramo]
[[ 1.000e+00  1.111e+00  5.833e-01 -5.250e+00  1.111e-01]
 [ 1.111e+00  1.160e+00  4.173e-01 -8.583e+00  4.862e-02]
 [ 1.160e+00  1.193e+00  3.353e-01 -1.018e+01  3.293e-02]
 [ 1.193e+00  1.217e+00  2.766e-01 -1.131e+01  2.445e-02]
 [ 1.217e+00  1.236e+00  2.313e-01 -1.218e+01  1.899e-02]
 [ 1.236e+00  1.251e+00  1.951e-01 -1.286e+01  1.517e-02]
....
]

Algoritmo en Python

# 3Eva I T 2019 ecuaciones simultaneas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def newton_raphson(funcionx, fxderiva, xi, tolera):
    '''
    funciónx y fxderiva son de forma numérica
    xi es el punto inicial de búsqueda
    '''
    tabla = []
    tramo = abs(2*tolera)
    while (tramo>=tolera):
        fxi = funcionx(xi)
        dfxi = fxderiva(xi)
        xnuevo = xi - fxi/dfxi
        tramo = abs(xnuevo-xi)
        tabla.append([xi,xnuevo,fxi,dfxi,tramo])
        xi = xnuevo
    return(xi,tabla)

# INGRESO
y1 = lambda x: -x**2 +x +0.75
y2 = lambda x: (x**3)/(1+5*x)
a = 0.5
b = 1.5
muestras = 20

f = lambda x: -x**2+x+0.75-x**3/(1+5*x)
df = lambda x: -18*(x**2)+8*x +4.75
tolera = 1e-4
x0 = 1

# PROCEDIMIENTO
# datos para la gráfica
xi = np.linspace(a,b,muestras)
yi1 = y1(xi)
yi2 = y2(xi)
fi = f(xi)
# determina raiz
raiz, tabla = newton_raphson(f, df, x0, tolera)
tabla = np.array(tabla)

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=3)
print('raiz en: ',raiz)
print(' [  xi, \t xnuevo,\t fxi,\t dfxi, \t tramo]')
print(tabla)

# Gráfica
plt.plot(xi,yi1, label ='yi1')
plt.plot(xi,yi2, label ='yi2')
plt.plot(xi,fi, label ='fi=yi1-yi2')
plt.axvline(raiz,linestyle='dashed')
plt.axhline(0)
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.title('ecuaciones simultáneas')
plt.show()

s2Eva_IT2019_T3 EDP Elíptica Placa 6×5

La ecuación se discretiza con diferencias divididas centradas

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} (x,y)+\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2 } (x,y) = -\frac{q}{K} \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^2}= -\frac{q}{K}

Para procesar los datos se toma como referencia la malla

se agrupan los términos conocidos de las diferencias divididas

\frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} \Big( u_{i+1,j}-2u_{i,j} +u_{i-1,j} \Big) + u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=-\frac{q}{K}(\Delta y)^2

Considerando que hx =2, hy= 2.5 son diferentes, se mantiene el valor de λ para el desarrollo.

\lambda = \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2} = \frac{(2.5)^2}{(2)^2} = 1.5625 \lambda u_{i+1,j}-2\lambda u_{i,j} +\lambda u_{i-1,j} + u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}=-\frac{q}{K}(\Delta y)^2

Se agrupan términos de u que son iguales

\lambda u_{i+1,j}-2(1+\lambda) u_{i,j} +\lambda u_{i-1,j} + u_{i,j+1}+u_{i,j-1}=-\frac{q}{K}(\Delta y)^2

con lo que se puede generar el sistema de ecuaciones a resolver para los nodos de la malla.

i = 1 , j=1

1.5625 u_{2,1}-2(1+ 1.5625) u_{1,1} + 1.5625 u_{0,1} + +u_{1,2}+u_{1,0}=-\frac{1.5}{1.04}(2.5)^2 1.5625 u_{2,1}-5.125u_{1,1} + 1.5625 y_1(5-y_1) + + 0+x_i(6-x_i)=-9.0144 1.5625 u_{2,1}-5.125u_{1,1} + 1.5625[ 1(5-1)]+ + 0+2(6-2)=-9.0144

 

1.5625 u_{2,1}-5.125 u_{1,1} = =-9.0144 - 1.5625 [1(5-1)] - 0-2(6-2)

 

1.5625 u_{2,1}-5.125 u_{1,1} =-23.2644

i=2, j=1

1.5625 u_{3,1}-2(1+1.5625) u_{2,1} +1.5625 u_{1,1} + +u_{2,2}+u_{2,0}=-9.0144

 

1.5625 (0)-5.125 u_{2,1} +1.5625 u_{1,1} + 0 +x_2(6-x_2)=-9.0144 -5.125 u_{2,1} +1.5625 u_{1,1} + 0 +4(6-4)=-9.0144 -5.125 u_{2,1} +1.5625 u_{1,1} =-17.0144

las ecuaciones a resolver son:

1.5625 u_{2,1}-5.125 u_{1,1} =-23.2644 -5.125 u_{2,1} +1.5625 u_{1,1} =-17.0144

cuya solución es:

u_{2,1} = 5.1858 u_{1,1} =6.1204

Resuelto usando:

import numpy as np
A = np.array([[1.5625,-5.125],
             [-5.125, 1.5625]])
B = np.array([-23.2644,-17.0144])
x = np.linalg.solve(A,B)
print(x)

s2Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical

Para resolver la ecuación usando Runge-Kutta se estandariza la ecuación a la forma:

\frac{d^2\theta }{dt^2}+\frac{g}{L}\sin (\theta)=0 \frac{d^2\theta }{dt^2}= -\frac{g}{L}\sin (\theta)

Se simplifica su forma a:

\frac{d\theta}{dt}=z = f_t(t,\theta,z) \frac{d^2\theta }{dt^2}= z' =-\frac{g}{L}\sin (\theta) = g_t(t,\theta,z)

y se usan los valores iniciales para iniciar la tabla:

\theta(0) = \frac{\pi}{6} \theta '(0) = 0
ti θ(ti) θ'(ti)=z
0 π/6 = 0.5235 0
0.2 0.3602 -1.6333
0.4 -0.0815 -2.2639

para las iteraciones se usan los valores (-g/L) = (-9.8/0.6)

Iteración 1:  ti = 0 ; yi = π/6 ; zi = 0

K1y = h * ft(ti,yi,zi) 
    = 0.2*(0) = 0
K1z = h * gt(ti,yi,zi) 
    = 0.2*(-9.8/0.6)*sin(π/6) = -1.6333
        
K2y = h * ft(ti+h, yi + K1y, zi + K1z)
    = 0.2*(0-1.6333)= -0.3266
K2z = h * gt(ti+h, yi + K1y, zi + K1z)
    = 0.2*(-9.8/0.6)*sin(π/6+0) = -1.6333

yi = yi + (K1y+K2y)/2 
   = π/6+ (0+(-0.3266))/2 = 0.3602
zi = zi + (K1z+K2z)/2 
   = 0+(-1.6333-1.6333)/2 = -1.6333
ti = ti + h = 0 + 0.2 = 0.2

estimado[i] = [0.2,0.3602,-1.6333]

Iteración 2: ti = 0.2 ; yi = 0.3602 ; zi = -1.6333

K1y = 0.2*( -1.6333) = -0.3266
K1z = 0.2*(-9.8/0.6)*sin(0.3602) = -1.1515
        
K2y = 0.2*(-1.6333-0.3266)= -0.5569
K2z = 0.2*(-9.8/0.6)*sin(0.3602-0.3266) = -0.1097

yi = 0.3602 + ( -0.3266 + (-0.3919))/2 = -0.0815
zi = -1.6333+(-1.151-0.1097)/2 = -2.2639
ti = ti + h = 0.2 + 0.2 = 0.4

estimado[i] = [0.4,-0.0815,-2.2639]

Se continúan con las iteraciones, hasta completar la tabla.

Tarea: realizar la Iteración 3

Usando el algoritmo RungeKutta_fg se obtienen los valores y luego la gráfica

 [ t, 		 y, 	 dyi/dti=z]
[[ 0.          0.52359878  0.        ]
 [ 0.2         0.36026544 -1.63333333]
 [ 0.4        -0.08155862 -2.263988  ]
 [ 0.6        -0.50774327 -1.2990876 ]
 [ 0.8        -0.60873334  0.62920692]
 [ 1.         -0.29609456  2.32161986]]

si se mejora la resolución disminuyendo h = 0.05 y muestras = 20 para cubrir el dominio [0,1] se obtiene el siguiente resultado:

Tarea: Para el literal b, se debe considerar que los errores se calculan con

Runge-Kutta 2do Orden tiene error de truncamiento O(h3)
Runge-Kutta 4do Orden tiene error de truncamiento O(h5)


Algoritmo python

# 3Eva_IT2019_T2 Péndulo vertical
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def rungekutta2_fg(f,g,x0,y0,z0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,3),dtype=float)
    # incluye el punto [x0,y0,z0]
    estimado[0] = [x0,y0,z0]
    xi = x0
    yi = y0
    zi = z0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1y = h * f(xi,yi,zi)
        K1z = h * g(xi,yi,zi)
        
        K2y = h * f(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)
        K2z = h * g(xi+h, yi + K1y, zi + K1z)

        yi = yi + (K1y+K2y)/2
        zi = zi + (K1z+K2z)/2
        xi = xi + h
        
        estimado[i] = [xi,yi,zi]
    return(estimado)

# INGRESO theta = y
g = 9.8
L  = 0.6
ft = lambda t,y,z: z
gt = lambda t,y,z: (-g/L)*np.sin(y)

t0 = 0
y0 = np.pi/6
z0 = 0
h=0.2
muestras = 5

# PROCEDIMIENTO
tabla = rungekutta2_fg(ft,gt,t0,y0,z0,h,muestras)

# SALIDA
print(' [ t, \t\t y, \t dyi/dti=z]')
print(tabla)

# Grafica
ti = np.copy(tabla[:,0])
yi = np.copy(tabla[:,1])
zi = np.copy(tabla[:,2])
plt.subplot(121)
plt.plot(ti,yi)
plt.xlabel('ti')
plt.title('yi')
plt.subplot(122)
plt.plot(ti,zi, color='green')
plt.xlabel('ti')
plt.title('dyi/dti')
plt.show()

Otra solución propuesta puede seguir el problema semejante:

s2Eva_IT2010_T2 Movimiento angular

s2Eva_IT2019_T1 Esfuerzo en pulso cardiaco

Para resolver el ejercicio, la función a integrar es el cuadrado de los valores. Para minimizar los errores se usarán TODOS los puntos muestreados, aplicando los métodos adecuados.
Con aproximación de Simpson se requiere que los tamaños de paso sean iguales en cada segmento.
Por lo que primero se revisa el tamaño de paso entre lecturas.

tamaño de paso h:
[0.04 0.04 0.02 0.01 0.01 0.01 0.03 0.04 0.03 0.02 0.  ]
tiempos:
[0.   0.04 0.08 0.1  0.11 0.12 0.13 0.16 0.2  0.23 0.25]
ft:
[ 10.  18.   7.  -8. 110. -25.   9.   8.  25.   9.   9.]

Observando los tamaños de paso se tiene que:
– entre dos tamaños de paso iguales se usa Simpson de 1/3
– entre tres tamaños de paso iguales se usa Simpson de 3/8
– para tamaños de paso variables se usa trapecio.

Se procede a obtener el valor del integral,

Intervalo [0,0.8], h = 0.04

I_{S13} = \frac{0.04}{3}(10^2+4(18^2)+7^2)

Intervalo [0.08,0.1], h = 0.02

I_{Tr1} = \frac{0.02}{2}(7^2+(-8)^2)

Intervalo [0.1,0.13], h = 0.01

I_{S38} = \frac{3}{8}(0.01)((-8)^2+3(110)^2+3(-25)^2+9^2)

Intervalo [0.13,0.25], h = variable

I_{Tr2} = \frac{0.03}{2}(9^2+8^2) I_{Tr3} = \frac{0.04}{2}(8^2+25^2) I_{Tr4} = \frac{0.03}{2}(25^2+9^2) I_{Tr5} = \frac{0.02}{2}(9^2+9^2)

El integral es la suma de los valores parciales, y con el resultado se obtiene el valor Xrms requerido.

I_{total} = \frac{1}{0.08-0}I_{S13}+\frac{1}{0.1-0.08}I_{Tr1} +\frac{1}{0.13-0.1}I_{S38} + \frac{1}{0.16-0.13}I_{Tr2} + \frac{1}{0.2-0.16}I_{Tr3} +\frac{1}{0.23-0.2}I_{Tr4} + \frac{1}{0.25-0.23}I_{Tr5} X_{rms} = \sqrt{I_{total}}

Los valores resultantes son:

Is13:  19.26666666666667
ITr1:  1.1300000000000001
Is38:  143.7
ITr2:  2.175
ITr3:  13.780000000000001
ITr4:  10.59
ITr5:  1.62
Itotal:  5938.333333333333
Xrms:  77.06058222809722

Tarea: literal b

Para Simpson 1/3

error_{trunca} = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(z)

Para Simpson 3/8

error_{truncamiento} = -\frac{3}{80} h^5 f^{(4)} (z)

Para trapecios

error_{truncar} = -\frac{h^3}{12}f''(z)

Algoritmo en Python

# 3Eva_IT2019_T1 Esfuerzo Cardiaco
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
t  = np.array([0.0,0.04,0.08,0.1,0.11,0.12,0.13,0.16,0.20,0.23,0.25])
ft = np.array([10., 18, 7, -8, 110, -25, 9, 8, 25, 9, 9])

# PROCEDIMIENTO
# Revisar tamaño de paso h
n = len(t)
dt = np.zeros(n, dtype=float)
for i in range(0,n-1,1):
    dt[i]=t[i+1]-t[i]

# Integrales
Is13 = (0.04/3)*((10)**2 + 4*((18)**2) + (7)**2)
ITr1 = (0.02/2)*((7)**2 + (-8)**2)
Is38 = (3/8)*0.01*((-8)**2 + 3*((110)**2) + 3*((-25)**2) + (9)**2)

ITr2 = (0.03/2)*((9)**2 + (8)**2)
ITr3 = (0.04/2)*((8)**2 + (25)**2)
ITr4 = (0.03/2)*((25)**2 + (9)**2)
ITr5 = (0.02/2)*((9)**2 + (9)**2)

Itotal = (1/(0.08-0.0))*Is13 + (1/(0.1-0.08))*ITr1
Itotal = Itotal + (1/(0.13-0.1))*Is38 + (1/(0.16-0.13))*ITr2
Itotal = Itotal + (1/(0.20-0.16))*ITr3 + (1/(0.23-0.20))*ITr4
Itotal = Itotal + (1/(0.25-0.23))*ITr5
Xrms = np.sqrt(Itotal)

# SALIDA
print('tamaño de paso h:')
print(dt)
print('tiempos:')
print(t)
print('ft: ')
print(ft)
print('Is13: ', Is13)
print('ITr1: ', ITr1)
print('Is38: ', Is38)
print('ITr2: ', ITr2)
print('ITr3: ', ITr3)
print('ITr4: ', ITr4)
print('ITr5: ', ITr5)
print('Itotal: ', Itotal)
print('Xrms: ', Xrms)

# Grafica
plt.plot(t,ft)
for i in range(1,n,1):
    plt.axvline(t[i], color='green', linestyle='dashed')
plt.xlabel('tiempo s')
plt.ylabel('valor sensor')
plt.title('Un pulso cardiaco con sensor')
plt.show()

s2Eva_IT2012_T2 Modelo de clima

Se deja de tarea realizar las tres primeras iteraciones en papel.

Se presenta el resultado usando el algoritmo de segundo grado como una variante a la respuesta usada como ejemplo.

 [ ti, xi, yi, zi]
[[ 0.0000e+00  1.0000e+01  7.0000e+00  7.0000e+00]
 [ 2.5000e-03  9.9323e+00  7.5033e+00  7.1335e+00]
 [ 5.0000e-03  9.8786e+00  7.9988e+00  7.2774e+00]
 ...
 [ 2.4995e+01 -8.4276e+00 -2.7491e+00  3.3021e+01]
 [ 2.4998e+01 -8.2860e+00 -2.6392e+00  3.2858e+01]
 [ 2.5000e+01 -8.1453e+00 -2.5346e+00  3.2692e+01]]

Algoritmo en Python

 2Eva_IT2012_T2 Modelo de clima
# MATG1013 Análisis Numérico
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def rungekutta2_fg(f,g,j,t0,x0,y0,z0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,4),dtype=float)
    # incluye el punto [t0,x0,y0,z0]
    estimado[0] = [t0,x0,y0,z0]
    ti = t0
    xi = x0
    yi = y0
    zi = z0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1x = h * f(ti,xi,yi,zi)
        K1y = h * g(ti,xi,yi,zi)
        K1z = h * j(ti,xi,yi,zi)
        
        K2x = h * f(ti+h,xi + K1x, yi + K1y, zi + K1z)
        K2y = h * g(ti+h,xi + K1x, yi + K1y, zi + K1z)
        K2z = h * j(ti+h,xi + K1x, yi + K1y, zi + K1z)
        
        xi = xi + (K1x+K2x)/2
        yi = yi + (K1y+K2y)/2
        zi = zi + (K1z+K2z)/2
        ti = ti + h
        
        estimado[i] = [ti,xi,yi,zi]
    return(estimado)


#INGRESO
to = 0
xo = 10
yo = 7
zo = 7
f = lambda t,x,y,z: 10*(y-x)
g = lambda t,x,y,z: x*(28-z) - y
j = lambda t,x,y,z: -(8/3)*z + (x*y)
h = 0.0025
muestras = 10000

#PROCEDIMIENTO
#Rugen-Kutta 2_orden
tabla = rungekutta2_fg(f,g,j,to,xo,yo,zo,h,muestras)

#SALIDA
np.set_printoptions(precision=4)
print(' [ ti, xi, yi, zi]')
print(tabla)

# Gráfica
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot(tabla[:,1], tabla[:,2], tabla[:,3])
plt.show()

s3Eva_IIT2010_T4 EDO con Taylor

\frac{\delta y}{\delta x} = \frac{y^3}{1-2xy^2} y(0) = 1, 0 \leq x \leq 1

escrita en forma simplificada

y' = \frac{y^3}{1-2xy^2}

tomando como referencia Taylor de 2 términos más el término de error O(h2)

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}y'_i + \frac{h^2}{2!}y''_i

Se usa hasta el segundo término para el algoritmo.

y_{i+1} = y_i +\frac{h}{1!}

Con lo que se puede realizar el algoritmo

estimado[xi,yi]
[[0. 1. ]
[0.2 1.2 ]
[0.4 2.01509434]
[0.6 1.28727044]
[0.8 0.85567954]
[1. 0.12504631]]

Algoritmo en Python

# EDO. Método de Taylor 2 términos 
# estima la solución para muestras espaciadas h en eje x
# valores iniciales x0,y0
# entrega arreglo [[x,y]]
import numpy as np

def edo_taylor2t(d1y,x0,y0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,2),dtype=float)
    # incluye el punto [x0,y0]
    estimado[0] = [x0,y0]
    x = x0
    y = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        y = y + h*d1y(x,y)
        x = x+h
        estimado[i] = [x,y]
    return(estimado)

# PROGRAMA PRUEBA
# 3Eva_IIT2010_T4 EDO con Taylor

# INGRESO.
# d1y = y' = f, d2y = y'' = f'
d1y = lambda x,y: (y**3)/(1-2*x*(y**2))
x0 = 0
y0 = 1
h = 0.2
muestras = 5

# PROCEDIMIENTO
puntos = edo_taylor2t(d1y,x0,y0,h,muestras)
xi = puntos[:,0]
yi = puntos[:,1]

# SALIDA
print('estimado[xi,yi]')
print(puntos)
# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(xi[0],yi[0],'o', color='r', label ='[x0,y0]')
plt.plot(xi[1:],yi[1:],'o', color='g', label ='y estimada')
plt.title('EDO: Solución con Taylor 2 términos')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

Nota: Revisar los resultados no lineales con los valores de h=0.02

s3Eva_IIT2007_T1 EDP Eliptica, problema de frontera

Con los datos del ejercicio se plantean de la siguiente forma en los bordes:

La ecuación a resolver es:

\frac{\delta^2u}{\delta x^2} +\frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = 4

Que en su forma discreta, con diferencias divididas centradas es:

\frac{u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j]}{(\Delta x)^2} + \frac{u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1]}{(\Delta y)^2} = 4

Al agrupar constantes se convierte en:

u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] + + \frac{(\Delta x)^2}{(\Delta y)^2} \Big([i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1] \Big)= 4(\Delta x)^2

Siendo Δx= 1/3 y Δy =2/3, se mantendrá la relación λ = (Δx/Δy)2

u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] + + \lambda u[i,j-1]-2\lambda u[i,j]+\lambda u[i,j+1] = 4(\Delta x)^2 =(1/2)^2 = 1/4 = 0.25
u[i-1,j]-2(1+\lambda)u[i,j]+u[i+1,j] + + \lambda u[i,j-1]+\lambda u[i,j+1] = 4(\Delta x)^2

Se pueden realizar las iteraciones para los nodos y reemplaza los valores de frontera:

i=1 y j=1

u[0,1]-2(1+\lambda)u[1,1]+u[2,1] + + \lambda u[1,0]+\lambda u[1,2] = 4(\Delta x)^2 \Delta y^2-2(1+\lambda)u[1,1]+u[2,1] + + \Delta x^2]+\lambda u[1,2] = 4(\Delta x)^2 -2(1+\lambda)u[1,1]+u[2,1] +\lambda u[1,2] = 4(\Delta x)^2 - \Delta y^2 - \Delta x^2 -2(1+0.25)u[1,1]+u[2,1] +0.25 u[1,2] = 4(1/3)^2 - (2/3)^2- (1/3)^2 -2.5u[1,1]+u[2,1] +0.25 u[1,2] = -0.1111

i=2 , j=1

u[1,1]-2(1+\lambda)u[2,1]+u[3,1] + + \lambda u[2,0]+\lambda u[2,2] = 4(\Delta x)^2 u[1,1]-2(1+\lambda)u[2,1]+(\delta y-1)^2 + + \Delta x^2 +\lambda u[2,2] = 4(\Delta x)^2 u[1,1]-2(1+\lambda)u[2,1] + \lambda u[2,2] = 4(\Delta x)^2 - (\Delta y-1)^2 - \Delta x^2 u[1,1]-2(1+0.25)u[2,1] + 0.25 u[2,2] = 4(1/3)^2 - (2/3-1)^2 - (1/3)^2 u[1,1]-2.5u[2,1] + 0.25 u[2,2] = 0.2222

i=1 , j=2

u[0,2]-2(1+\lambda)u[1,2]+u[2,2] + + \lambda u[1,1]+\lambda u[1,3] = 4(\Delta x)^2 (2\Delta y^2)-2(1+\lambda)u[1,2]+u[2,2] + + \lambda u[1,1]+\lambda (\Delta x-1)^2 = 4(\Delta x)^2 -2(1+\lambda)u[1,2]+u[2,2] + \lambda u[1,1] = 4(\Delta x)^2 - (2\Delta y^2) -\lambda (\Delta x-1)^2 -2(1+0.25)u[1,2]+u[2,2] + 0.25 u[1,1] = 4(1/3)^2 - (2(2/3)^2] -0.25 (1/3-1)^2 -2.5u[1,2]+u[2,2] + 0.25 u[1,1] = -0.5555

i=2, j=2

u[1,2]-2(1+\lambda)u[2,2]+u[3,2] + + \lambda u[2,1]+\lambda u[2,3] = 4(\Delta x)^2 u[1,2]-2(1+\lambda)u[2,2]+(\Delta y-1)^2 + + \lambda u[2,1]+\lambda (\Delta x-1)^2 = 4(\Delta x)^2 u[1,2]-2(1+\lambda)u[2,2] + \lambda u[2,1] =4(\Delta x)^2- (\Delta y-1)^2 -\lambda (\Delta x-1)^2 u[1,2]-2(1+0.25)u[2,2] + 0.25 u[2,1] =4(1/3)^2- (2/3-1)^2 -0.25(1/3-1)^2 u[1,2]-2.5u[2,2] + 0.25 u[2,1] =-0.2222

Obtiene el sistema de ecuaciones a resolver:

-2.5u[1,1]+u[2,1] +0.25 u[1,2] = -0.1111 u[1,1]-2.5u[2,1] + 0.25 u[2,2] = 0.2222 -2.5u[1,2]+u[2,2] + 0.25 u[1,1] = -0.5555 u[1,2]-2.5u[2,2] + 0.25 u[2,1] =-0.2222

Se escribe en forma matricial Ax=B

\begin {bmatrix} -2.5 && 1&&0.25&&0 \\1&&-2.5&&0&&0.25\\0.25&&0&&-2.5&&1\\0&&0.25&&1&&-2.5\end{bmatrix} \begin {bmatrix} u[1,1] \\ u[2,1]\\ u[1,2]\\u[2,2] \end{bmatrix} = \begin {bmatrix}-0.1111\\0.2222\\-0.5555\\-0.2222 \end{bmatrix}

que se resuelve con un algoritmo:

import numpy as np

A = np.array([[-2.5,1,0.25,0],
              [1,-2.5,0,0.25],
              [0.25,0,-2.5,1],
              [0,0.25,1,-2.5]])
B = np.array([-0.1111,0.2222,-0.5555,-0.2222])

x = np.linalg.solve(A,B)

print(x)

y los resultados son:

[ 0.05762549 -0.04492835  0.31156835  0.20901451]

s2Eva_IT2010_T3 EDP elíptica, Placa no rectangular

la fórmula a resolver, siendo f(x,y)=20

\frac{\delta^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = f \frac{\delta^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta y^2} = 20

Siendo las condiciones de frontera en los bordes marcados:

Se convierte a forma discreta la ecuación

\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i,j+1} -2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2} = 20 u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j} + \frac{\Delta x^2}{\Delta y^2} \Big( u_{i,j+1} -2u_{i,j}+u_{i,j-1} \Big) = 20 \Delta x^2

siendo λ = 1, al tener la malla en cuadrícula Δx=Δy

u_{i+1,j}-4u_{i,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1}+u_{i,j-1} = 20 \Delta x^2

despejando u[i,j]

u_{i,j} =\frac{1}{4}\Big(u_{i+1,j}+u_{i-1,j} + u_{i,j+1}+u_{i,j-1} - 20 \Delta x^2 \Big)

Para el ejercicio, se debe usar las fronteras para los valores de cálculo que se puede hacer de dos formas:
1. Por posición del valor en la malla [i,j]
2. Por valor xi,yj que es la forma usada cuando la función es contínua.

1. Por posiciónd el valor en la malla

Se busca la posición de la esquina derecha ubicada en xi = 0 y yj=1.5 y se la ubica como variable ‘desde’ como referencia para ubicar los valores de las fronteras usando los índices i, j.

# valores en fronteras
# busca poscición de esquina izquierda
desde = -1 
for j in range(0,m,1):
    if ((yj[j]-1.5)<tolera):
        desde = j
# llena los datos de bordes de placa
for j  in range(0,m,1):
    if (yj[j]>=1):
        u[j-desde,j] = Ta
    u[n-1,j] = Tb(xi[n-1],yj[j])
for i in range(0,n,1):
    if (xi[i]>=1):
        u[i,m-1]=Td
    u[i,desde-i] = Tc(xi[i],yj[i])
# valor inicial de iteración

2. Por valor xi,yj

Se establecen las ecuaciones que forman la frontera:

ymin = lambda x,y: 1.5-(1.5/1.5)*x
ymax = lambda x,y: 1.5+(1/1)*x

que se usan como condición para hacer el cálculo en cada nodo

if ((yj[j]-yjmin)>tolera and (yj[j]-yjmax)<-tolera):
                u[i,j] = (u[i-1,j]+u[i+1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1]-20*(dx**2))/4

Para minimizar errores por redondeo o truncamiento al seleccionar los puntos, la referencia hacia cero se toma como «tolerancia»; en lugar de más que cero o menos que cero.

Con lo que se obtiene el resultado mostrado en la gráfica aumentando la resolución con Δx=Δy=0.05:

converge =  1
xi=
[0.   0.05 0.1  0.15 0.2  0.25 0.3  0.35 0.4  0.45 0.5  0.55 0.6  0.65
 0.7  0.75 0.8  0.85 0.9  0.95 1.   1.05 1.1  1.15 1.2  1.25 1.3  1.35
 1.4  1.45 1.5 ]
yj=
[0.   0.05 0.1  0.15 0.2  0.25 0.3  0.35 0.4  0.45 0.5  0.55 0.6  0.65
 0.7  0.75 0.8  0.85 0.9  0.95 1.   1.05 1.1  1.15 1.2  1.25 1.3  1.35
 1.4  1.45 1.5  1.55 1.6  1.65 1.7  1.75 1.8  1.85 1.9  1.95 2.   2.05
 2.1  2.15 2.2  2.25 2.3  2.35 2.4  2.45 2.5 ]
matriz u
[[  0.     0.     0.   ...   0.     0.     0.  ]
 [  0.     0.     0.   ...   0.     0.     0.  ]
 [  0.     0.     0.   ...   0.     0.     0.  ]
 ...
 [  0.     0.     6.67 ...  96.1   98.03 100.  ]
 [  0.     3.33   5.31 ...  96.03  98.   100.  ]
 [  0.     2.     4.   ...  96.    98.   100.  ]]
>>>

Algoritmo en Python

# Ecuaciones Diferenciales Parciales
# Elipticas. Método iterativo para placa NO rectangular
import numpy as np

# INGRESO
# Condiciones iniciales en los bordes
Ta = 100
Tb = lambda x,y:(100/2.5)*y
Tc = lambda x,y: 100-(100/1.5)*x
Td = 100
# dimensiones de la placa no rectangular
x0 = 0
xn = 1.5
y0 = 0
yn = 2.5
ymin = lambda x,y: 1.5-(1.5/1.5)*x
ymax = lambda x,y: 1.5+(1/1)*x
# discretiza, supone dx=dy
dx = 0.05 
dy = 0.05 
maxitera = 100
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.arange(x0,xn+dx,dx)
yj = np.arange(y0,yn+dy,dy)
n = len(xi)
m = len(yj)
# Matriz u
u = np.zeros(shape=(n,m),dtype = float)

# valores en fronteras
# busca posición de esquina izquierda
desde = -1 
for j in range(0,m,1):
    if ((yj[j]-1.5)<tolera): desde = j 

# llena los datos de bordes de placa 

for j in range(0,m,1): if (yj[j]>=1):
        u[j-desde,j] = Ta
    u[n-1,j] = Tb(xi[n-1],yj[j])
for i in range(0,n,1):
    if (xi[i]>=1):
        u[i,m-1]=Td
    u[i,desde-i] = Tc(xi[i],yj[i])
# valor inicial de iteración
# se usan los valores cero

# iterar puntos interiores
itera = 0
converge = 0
while not(itera>=maxitera and converge==1):
    itera = itera + 10000
    nueva = np.copy(u)
    for i in range(1,n-1):
        for j in range(1,m-1):
            yjmin = ymin(xi[i],yj[j])
            yjmax = ymax(xi[i],yj[j])
            if ((yj[j]-yjmin)>tolera and (yj[j]-yjmax)<-tolera):
                u[i,j] = (u[i-1,j]+u[i+1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1]-20*(dx**2))/4
    diferencia = nueva-u
    erroru = np.linalg.norm(np.abs(diferencia))

    if (erroru<tolera):
        converge=1

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=2)
print('converge = ', converge)
print('xi=')
print(xi)
print('yj=')
print(yj)
print('matriz u')
print(u)

Para incorporar la gráfica en forma de superficie.

# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

X, Y = np.meshgrid(xi, yj)
U = np.transpose(u) # ajuste de índices fila es x
figura = plt.figure()
ax = Axes3D(figura)
ax.plot_surface(X, Y, U, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.Reds)
plt.title('EDP elíptica')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()