Diferenciación numérica

Referencia: Chapra 23.1 p668 pdf692, Rodriguez 8.2 p324

La fórmula de Taylor muestra una aproximación de una función f(x):

P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...

Primera Derivada con Diferencias divididas hacia adelante

Usando un polinomio de Taylor alrededor de xi en para un punto a la derecha xi+1 a una distancia h = xi+1xi

f(x_{i+1}) = f(x_i)+\frac{f'(x_i)}{1!} (h) + \frac{f''(x_i)}{2!}(h)^2 + ...

se puede simplificar en un polinomio de grado uno y un término de error:

f_{i+1} = f_i + f'_i (h) + O(h^2) ...
f'_i = \frac{f_{i+1}-f_i}{h} = \frac{\Delta f_i}{h}

La expresión es la primera diferencia finita dividida con un error del orden O(h).
Revise que el término de la expresión queda O(h2)/h con lo que se disminuye el exponente en uno.

Primera derivada con diferencias divididas centradas

Se realiza el mismo procedimiento que el anterior, usando un punto xi+1 y xi-1 alrededor de xi. En el término xi-1 el valor de h es negativo al invertir el orden de la resta.

f_{i+1} = f_i+\frac{f'_i}{1!}(h) + \frac{f''_i}{2!}(h)^2 f_{i-1} = f_i-\frac{f'_i}{1!}(h) + \frac{f''_i}{2!}(h)^2

restando la ecuaciones se tiene que

f_{i+1} - f_{i-1} = f'_i (h)+f'_i (h) f_{i+1} - f_{i-1} = 2h f'_i
f'_i = \frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2h}

con un error del orden O(h2)

Segunda derivadas

Al continuar con el procedimiento mostrado se pueden obtener las fórmulas para segundas derivadas, las que se resumen en las tablas de Fórmulas de diferenciación por diferencias divididas.