s1Eva_IIT2017_T1_AN-Polinomio-taylor

Se dispone de tres puntos para la gráfica.

x  f(x)
 0  1
 0.2  1.6
 0.4  2.0

Si el polinomio de Taylor fuera de grado 0, sería una constante, que si se evalua en x0 = 0 para eliminar los otros términos, se encuentra que sería igual a 1

Como se pide el polinomio de grado 2, se tiene la forma:

p(x) = a + bx + c x 2

p(x) = 1 + bx + c x 2

Se disponen de dos puntos adicionales que se pueden usar para determinar b y c:

p(0.2) = 1 + 0.2 b + (0.2)2 c = 1.6
p(0.4) = 1 + 0.4 b + (0.4)2 c = 2.0
simplificando:
0.2 b + (0.2)2 c = 1.6 - 1 = 0.6
0.4 b + (0.4)2 c = 2.0 - 1 = 1

multiplicando la primera ecuación de 2 y restandole la segunda ecuación:

// - 0.08 c =  1.2-1 = 0.2
c = - 0.2/0.08 = -2.5

0.2 b + 0.04(-2.5) = 0.6
0.2 b = 0.6 + 0.04*2.5 = 0.6 + 0.1 = 0.7
    b =  0.7/0.2 =  3.5

con lo que el polinomio queda:
p(x) = 1 + 3.5 x – 2.5 x2

validando con python:
tomando los puntos de prueba:

[ 0.   0.2  0.4]
[ 1.   1.6  2. ]
>>>

se obtiene la gráfica:

se adjunta las instrucciones usadas para validar

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xi = np.linspace(-0.5,1,51)
px = lambda x: 1+ 3.5*x - 2.5*(x**2)
pxi = px(xi)
prueba = np.array([0,0.2,0.4])
puntos = px(prueba)

# Salida
print(prueba)
print(puntos)

# Gráfica
plt.plot(xi,pxi)
plt.plot(prueba,puntos,'*')
plt.show()

Nota: Se puede intentar realizar los polinomios aumentando el grado, sin embargo cada término agrega un componente adicional a los términos anteriores por la forma (x – x0)k