s1Eva_IIT2018_T1 Interpolar velocidad del paracaidista

El ejercicio tiene dos partes: la interpolación y el integral.

Literal a

No se especifica el método a seguir, por lo que se puede seleccionar el de mayor preferencia.

Usando Lagrange, con los puntos primero, medio y último:

p_2(t) = 0\frac{(t-4)(t-8)}{(0-4)(0-8)} + + 27.77\frac{(t-0)(t-8)}{(4-0)(4-8)} + + 41.10\frac{(t-0)(t-4)}{(8-0)(8-4)} p_2(t) = 0 + 27.77\frac{t(t-8)}{-16}) + + 41.10\frac{t(t-4)}{32} p_2(t) = -1.73(t^2-8t) + 1.28(t^2-4t) p_2(t) = -0.45 t^2 + 8.72t


Literal b

El tema de integración para primera evaluación se realiza de forma analítica.

Como introducción a la Unidad 7 de la 2da Evaluación, se usa el método del trapecio para el polinomio encontrado en el literal anterior:

v(t) =  -0.45125*t**2 + 8.7475*t
distancia recorrida:  202.8912640000001

Realice la integración analítica del polinomio encontrado y determine el error entre los métodos.


Desarrollo con Python

las instrucciones en Python para el ejercicio son:

# 1ra Evaluación II Término 2018
# Tema 1. Interpolar velocidad del paracaidista

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym

# Literal a)
def interpola_lagrange(xi,yi):
    '''
    Interpolación con método de Lagrange
    resultado: polinomio en forma simbólica
    '''
    # PROCEDIMIENTO
    n = len(xi)
    x = sym.Symbol('x')
    # Polinomio
    polinomio = 0
    for i in range(0,n,1):
        # Termino de Lagrange
        termino = 1
        for j  in range(0,n,1):
            if (j!=i):
                termino = termino*(x-xi[j])/(xi[i]-xi[j])
        polinomio = polinomio + termino*yi[i]
    # Expande el polinomio
    polinomio = polinomio.expand()
    return(polinomio)

# INGRESO
t = [0.0, 2, 4, 6, 8]
v = [0.0, 16.40, 27.77, 35.64, 41.10]

xi = [t[0],t[2],t[4]]
yi = [v[0],v[2],v[4]]

muestras = 51

# PROCEDIMIENTO
polinomio = interpola_lagrange(xi,yi)
velocidad = polinomio.subs('x','t')

# Para graficar
vt = sym.lambdify('t',velocidad)
a = t[0]
b = t[-1]
ti = np.linspace(a, b, muestras)
vi = vt(ti)

# SALIDA
print('v(t) = ', velocidad)
# Grafica
plt.plot(t,v,'ro')
plt.plot(ti,vi)
plt.title('Interpolar velocidad de paracidista')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('v')
plt.show()


# Literal b
def integratrapecio(funcionx,a,b,tramos):
    h = (b-a)/tramos
    x = a
    suma = funcionx(x)
    for i in range(0,tramos-1,1):
        x = x+h
        suma = suma + 2*funcionx(x)
    suma = suma + funcionx(b)
    area = h*(suma/2)
    return(area)

# INGRESO
# El ingreso es el polinomio en forma lambda
# se mantienen las muestras
tramos = muestras-1
# PROCEDIMIENTO
distancia = integratrapecio(vt,a,b,tramos)

# SALIDA
print('distancia recorrida: ', distancia)