s1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipoteca

literal a

Para adecuar la ecuación, se reemplazan los valores en la fórmula y se iguala a cero.

P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big) 70000 = 1200\Big(\frac{1-(1+i)^{-300}}{i} \Big)

Para evitar inconvenientes con la división para cero se multiplica toda la ecuación por i:

70000 i = 1200(1-(1+i)^{-300}) fx(i) = 70000i - 1200(1-(1+i)^{-300})

literal b

El intervalo de existencia corresponderia a sin interesess e interés máximo de 100%, pero no tendría mucho sentido un preéstamo de 100% anual. por lo que empezar el análisis con 25% puede servir par empezar la búsqueda de la raíz.

Un detalle importante es que las cuotas son mensuales, por lo que las tasas son mensuales, por lo que se busca tasas en el intervalo [ 0/12, 0.25/12]

Se evalua el signo fx(0) = 0, que para que el valor resulte negativo se incrementa al 5% anual 0.05/12 mensual. Encontrado que fx(0.05/12) es negativo, se revisa el valor fx(0.25/12) que resulta positivo.

Encontrado el cambio de signo, se usa el intervalo

[ 0.05/12, 0.25/12]


Literal c

Para el método de Newton-Raphson se tiene que:

x_{i+1} = x_{i} - \frac{f(x_0i)}{f'(x_i)}

Se requiere la derivada de la función planteada en el literal a:

fx(i) = 70000i - 1200(1-(1+i)^{-300}) f'x(i) = 70000 + 1200(300)(1+i)^{-301})

tomando como valor inicial xi = 0.25/12 = 0.020833

Se realizan las iteraciones suponiendo que tolera = 1e-4

iteración 1

fx(0.020833) = 70000i - 1200(1-(1+0.020833)^{-300})

 = 260.80

f'x(0.020833) = 70000 + 1200(300)(1+0.020833)^{-301})

= 69274.06

x_{i+1} = 0.25/12 - \frac{260.80}{69274.06} = 0.017068

error = |0.25/12 – 0.017068| = 0.003764

iteración 2

fx(0.017068) = 70000i - 1200(1-(1+0.017068)^{-300})

=2.2805

f'x(0.017068) = 70000 + 1200(300)(1+0.017068)^{-301}

= 67792.56

x_{i+1} = 0.25/12 - \frac{2.2805}{67792.56} = 0.0170347

error = |0.017068 – 0.017034| = 3.36e-05

que permite tomar el último valor y convertirlo a tasa anual = 12*0.017034 = 0.204418

Teniendo como resultado una tasa anual de 20.44%


Instrucciones Python

# 1ra Evaluación II Término 2018
# Tema 4. Tasa de interes para hipoteca
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def newton_raphson(funcionx, fxderiva, xi, tolera):
    '''
    funciónx y fxderiva son de forma numérica
    xi es el punto inicial de búsqueda
    '''
    tramo = abs(2*tolera)
    while (tramo>=tolera):
        xnuevo = xi - funcionx(xi)/fxderiva(xi)
        tramo = abs(xnuevo-xi)
        xi = xnuevo
    return(xi)

# INGRESO
P = 70000.00
A = 1200.00
n = 25*12
fx = lambda i: P*i - A*(1-(1+i)**(-n))
dfx = lambda i: P + A*(-n)*(i+1)**(-n-1)
a = 0.04/12
b = 0.25/12
muestras = 51
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
tasa = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(tasa)

raiz = newton_raphson(fx, dfx, b, tolera)
tanual = 12*raiz

# SALIDA
print('raiz encontrada en: ', raiz)
print('tasa anual: ',tanual)

plt.plot(tasa,fi)
plt.title('tasa de interes para Hipoteca')
plt.xlabel('tasa')
plt.ylabel('fx(tasa)')
plt.axhline(0, color='grey')
plt.show()