s1Eva_IT2011_T3_MN Precios unitarios en factura, k

Las ecuaciones basadas en las sumas de cantidad.preciounitario representan el valor pagado en cada factura.

Siendo Xi el precio unitario de cada material:

2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 35 3x_1 + 9x_2 + 8x_3 = k 5x_1 + 3x_2 + x_3 = 17

se escriben en la forma matricial Ax=B

\begin{bmatrix} 2 && 5 && 4 \\ 3 && 9 && 8 \\ 5 && 3 && 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 35 \\ k \\ 17 \end{bmatrix}

luego se escribe la matriz aumentada:

\begin{bmatrix} 2 && 5 && 4 && 35\\ 3 && 9 && 8 && k\\ 5 && 3 && 1 && 17\end{bmatrix}

se pivotea por filas buscando tener una matriz diagonal dominante,

\begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 3 && 9 && 8 && k\\ 2 && 5 && 4 && 35\\\end{bmatrix}

Luego se usa el procedimiento de eliminación hacia adelante,

\begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 3-5\frac{3}{5} && 9-3\frac{3}{5} && 8-1\frac{3}{5} && k-17\frac{3}{5} \\ 2-5\frac{2}{5} && 5-3\frac{2}{5} && 4-1\frac{2}{5} && 35-17\frac{2}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 0 && \frac{36}{5} && \frac{37}{5} && k-\frac{51}{5} \\ 0 && \frac{19}{5} && \frac{18}{5} && \frac{141}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 0 && 36 && 37 && 5k-51 \\ 0 && 19 && 18 && 141 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 0 && 36 && 37 && 5k-51 \\ 0 && 19-36\frac{19}{36} && 18-37\frac{19}{36} && 141-(5k-51)\frac{19}{36} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 0 && 36 && 37 && 5k-51 \\ 0 && 0 && \frac{-55}{36} && \frac{6045-5k}{36} \end{bmatrix}

multiplicando la última fila por 36,

\begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 0 && 36 && 37 && 5k-51 \\ 0 && 0 && -55 && 6045-5k \end{bmatrix}

con lo que se pueden obtener cada precio unitario en función de k.
Como variante, se continua siguiendo el procedimieno de Gauss, dejando como tarea el uso de Gauss-Jordan

-55x_3 = 6045-5k x_3 = -\frac{6045-5k}{55} 36 x_2 + 37 x_3 = 5k-51 x_2 = \frac{1}{36}(5k-51 - 37 x_3) x_2 = \frac{1}{36} \Big( 5k-51 - 37 \big(-\frac{6045-5k}{55}\big) \Big) 5x_1 + 3 x_2 +x_3 = 17 x_1 = \frac{1}{5} \Big[ 17 - 3 x_2 - x_3 \Big] x_1 = \frac{1}{5} \Big[17-3\frac{1}{36} \Big( 5k-21 - 37 \big(-\frac{6045-5k}{55}\big) \Big) - \Big( -\frac{6045-5k}{55} \Big) \Big]

para luego simplificar las expresiones (tarea).

En el literal c se indica que el valor de k es 65, con lo que se requiere sustituir en la solución el valor de K para encontrar los precios unitarios.

\begin{bmatrix} 5 && 3 && 1 && 17 \\ 3 && 9 && 8 && 65\\ 2 && 5 && 4 && 35\\\end{bmatrix}

Se encuentra que:

el vector solución X es:
[[-0.18181818]
[ 5.18181818]
[ 2.36363636]]

Lo que muestra que debe existir un error en el planteamiento del enunciado, considerando que los precios NO deberían ser negativos como sucede con el primer precio unitario de la respuesta.

que es lo que suponemos ser trata de corregir en el literal d, al indicar que se cambie en la matriz el valor de 5 por 5.1. Los resultados en éste caso son más coherentes con el enunciado. Todas las soluciones son positivas.

A = np.array([[ 5.1, 3  , 1],
              [ 3. , 9  , 8],
              [ 2. , 5.1, 4]])
B1 = np.array([ 17, 65, 35])

el vector solución X es:
[[0.33596838]
 [3.88669302]
 [3.62648221]]

El error relativo de los precios encontrados entre las ecuaciones planteadas es:

diferencia = [0.335968-0.181818,
              3.886693-5.181818, 
              3.626482-2.363636]
           = [0.154150, -1.295125, 1.262845]
error(dolares) = max|diferencia| = 1.295125
Por las magnitudes de los precios, el error se aprecia
usando el error relativo referenciado 
al mayor valor de la nueva solución
error relativo = 1.295125/3.886693 = 0.333220
es decir de aproximadamente 33%

Para revisar otra causa del error se analiza el número de condición de la matriz:

>>> A
array([[5.1, 3. , 1. ],
       [3. , 9. , 8. ],
       [2. , 5.1, 4. ]])
>>> np.linalg.cond(A)
60.28297696795716

El número de condición resulta lejano a 1, por lo que para éste problema:
pequeños cambios en la matriz de entrada producen grandes cambios en los resultados
por ejemplo: un 0.1/5= 0.02 que es un 2% de variación en la entrada produce un cambio del 33% en el resultado.