s2Eva_IT2012_T1_MN Longitud de teleférico

Los datos tomados para el problema son:

x    = [0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]
f(x) = [25.0, 22.0, 32.0, 51.0, 75.0]

Se debe considerar que los datos tienen tamaño de paso (h) del mismo valor.

Literal a)

Fórmulas de orden 2, a partir de:

http://blog.espol.edu.ec/matg1013/formulas-de-diferenciacion-por-diferencias-divididas/

considere que el término del Error O(h2), perdió una unidad del exponente en el proceso, por lo que las fórmulas de orden 2 tienen un error del mismo orden.

Se puede usar por ejemplo:

Para los términos x en el intervalo [0,0.50] hacia adelante

f'(x_i) = \frac{-f(x_{i+2})+4f(x_{i+1})-3f(x_i)}{2h} + O(h^2)

Para el término x con 0.75, centradas:

f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h} + O(h^2)

y para el término x con 1.0, hacia atras:

f'(x_i) = \frac{3f(x_{i})-4f(x_{i-1})+f(x_{i-2})}{2h} + O(h^2)

Luego se aplica el resultado en la fórmula:

g(x) = \sqrt{1+[f'(x)]^2}

L = \int_a^b g(x) \delta x .

Literal b)

Use las fórmulas de integración numérica acorde a los intervalos. Evite repetir intervalos, que es el error más común.

Por ejemplo, se puede calcular el integral de g(x) aplicando dos veces Simpson de 1/3, que sería la más fácil de aplicar dado los h iguales.

Otra opción es Simpson de 3/8 añadido un trapecio, otra forma es solo con trapecios en todo el intervalo.

Como ejemplo de cálculo usando un algoritmo en Python se muestra que:

f'(x): [-38.  22.  66.  86. 106.]
 g(x): [ 38.0131  22.0227  66.0075  86.0058 106.0047]
L con S13:  59.01226169578733
L con trapecios:  61.511260218050175

los cálculos fueron realizados a partir de la funciones desarrolladas durante la clase. Por lo que se muestran 3 de ellas en el algoritmo.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Funciones para integrar realizadas en clase
def itrapecio (datos,dt):
    n=len(datos)
    integral=0
    for i in range(0,n-1,1):
        area=dt*(datos[i]+datos[i+1])/2
        integral=integral + area 
    return(integral)

def isimpson13(f,h):
    n = len(f)
    integral = 0
    for i in range(0,n-2,2):
        area = (h/3)*(f[i]+4*f[i+1]+f[i+2])
        integral = integral + area
    return(integral)

def isimpson38 (f,h):
    n=len(f)
    integral=0
    for i in range(0,n-3,3):
        area=(3*h/8)*(f[i]+3*f[i+1]+3*f[i+2] +f[i+3] )
        integral=integral + area
    return(integral)

# INGRESO
x = np.array( [0.0,0.25,0.50,0.75,1.00])
fx= np.array([ 25.0, 22.0, 32.0, 51.0, 75.0])

# PROCEDIMIENTO
n = len(fx)
dx = x[1]-x[0]

# Diferenciales
dy = np.zeros(n)

for i in range(0,n-2,1):
    dy[i] = (-fx[i+2]+4*fx[i+1]-3*fx[i])/(2*dx)
# Diferenciales penúltimo
i = n-2
dy[i] = (fx[i+1]-fx[i-1])/(2*dx)
# Diferenciales último
i = n-1
dy[i] = (3*fx[i]-4*fx[i-1]+fx[i-2])/(2*dx)

# Función gx
gx = np.sqrt(1+(dy**2))

# Integral
integral = isimpson13(gx,dx)
integrartr = itrapecio(gx,dx)

# SALIDA 
print('f\'(x):', dy)
print(' g(x):', gx)
print("L con S13: ", integral )
print("L con trapecios: ", integrartr )

plt.plot(x,fx)
plt.show()

La gráfica del cable es: