s2Eva_IT2018_T1 Paracaidista wingsuit

El problema para un tiempo de observación t>0, se puede dividir en dos partes: velocidad y altura.

  1. Determinar velocidad: Se aplica Runge-Kutta con los valores iniciales dados, descartar calcular las alturas.
  2. Determinar las altura:  Con los valores de velocidades y la altura inicial de 1 km = 1000 m puede integrar cada tramo.
    Observe las unidades de medida y que la  velocidad es contraria  al eje de altura dy/dt = -v.
  3. En el ejercicio se presentan los resultados integrando por trapecios y como otra forma usando la fórmula de Taylor, tomando los puntos encontrados para velocidad.
  4. Otra opción para las alturas, en caso de requerir determinar el tiempo exacto en que sucede el resultado es sustituir v = dy/ty y resolver nuevamente la ecuación inicial. (Tarea).

Resultados:

La velocidad máxima, si no hubiese límite en la altura, se encuentra en alrededor de 62.39 m/s.
Sin embargo, luego de 20 segundos se observa que la altura alcanza el valor de cero, es decir se alcanzó tierra con velocidad de  62 m/s, que son algo mas de 223 Km/s, el objeto se estrella…!

altura1 con trapecio, altura2 con Taylor
 [tiempo, velocidad, altura1, altura2]
[[    0.       0.    1000.    1000.  ]
 [    2.      18.64   981.36   980.4 ]
 [    4.      34.04   928.68   925.26]
 [    6.      45.02   849.62   843.37]
 [    8.      52.13   752.47   743.87]
 [   10.      56.49   643.85   633.59]
 [   12.      59.07   528.3    516.97]
 [   14.      60.58   408.65   396.68]
 [   16.      61.45   286.63   274.28]
 [   18.      61.94   163.24   150.66]
 [   20.      62.23    39.07    26.36]
 [   22.      62.39   -85.55   -98.34]]

Los cálculos se realizaron usando las instrucciones en Python:

# 2da Evaluación I Término 2018
# Tema 1. Paracaidista wingsuit
import numpy as np

def rungekutta2(d1y,x0,y0,h,muestras):
    tamano = muestras + 1
    estimado = np.zeros(shape=(tamano,2),dtype=float)
    # incluye el punto [x0,y0]
    estimado[0] = [x0,y0]
    xi = x0
    yi = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        K1 = h * d1y(xi,yi)
        K2 = h * d1y(xi+h, yi + K1)

        yi = yi + (K1+K2)/2
        xi = xi + h
        
        estimado[i] = [xi,yi]
    return(estimado)

def integratrapecio(xi,fi,y0):
    tamano = len(xi)
    yi = np.zeros(tamano,dtype = float)
    yi[0] = y0
    for i in range(1,tamano,1):
        h = xi[i]-xi[i-1]
        trapecio = h*(fi[i]+fi[i-1])/2
        yi[i]= yi[i-1] + trapecio
    return(yi)

# PROGRAMA
# INGRESO
g = 9.8
cd = 0.225
m = 90
t0 = 0
v0 = 0

dt = 2
y0 = 1000
muestras = 11

d1v = lambda t,v: g - (cd/m)*(v**2)

# PROCEDIMIENTO
velocidad = rungekutta2(d1v,t0,v0,dt,muestras)
ti = velocidad[:,0]
vi = velocidad[:,1]

# Altura, velocidad es contraria altura,
# integrar en cada tramo por trapecios o Cuadratura de Gauss
altura = integratrapecio(ti,-vi,y0)

# Tabla de resultados
altura = np.transpose([altura])
tabla = np.concatenate((velocidad,altura), axis = 1)

# otra forma: usando Taylor
altura2 = np.zeros(muestras+1,dtype = float)
altura2[0] = y0
for i in range(0, muestras,1):
    acelera = d1v(ti[i],vi[i])
    altura2[i+1] = altura2[i] -(vi[i]*dt + acelera*(dt**2)/2)
# Tabla de resultados
altura2 = np.transpose([altura2])
tabla = np.concatenate((tabla,altura2), axis = 1)

# SALIDA
np.set_printoptions(precision=2)
print('altura1 con trapecio, altura2 con Taylor')
print(' [tiempo, velocidad, altura1,altura2]')
print(tabla)

y para la gráfica:

# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
plt.subplot(211)
plt.plot(ti,vi,'g')
plt.plot(ti,vi,'bo')
plt.title('paracaidista Wingsuit')
plt.ylabel('velocidad (m/s)')
plt.subplot(212)
plt.plot(ti,altura)
plt.plot(ti,altura,'o')
plt.plot(ti,altura2)
plt.axhline(0, color= 'red')
plt.ylabel('altura (m)')
plt.xlabel('tiempo (s)')
plt.show()