s3Eva_IT2017_T4 EDP elíptica, placa desplazada

La ecuación del problema en forma contínua:

\frac{\delta ^2 U}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 U}{\delta y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

1 <  x < 2
1 <  y < 2

Se convierte a la versión discreta usando diferencias divididas centradas


\frac{u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j]}{\Delta x^2} + + \frac{u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1]}{\Delta y^2} = \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}

Se agrupan los términos Δx, Δy semejante a formar un λ al multiplicar todo por Δy2

\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}\Big(u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] \Big) + + \frac{\Delta y^2}{\Delta y^2}\Big(u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1]\Big) = =\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)
\lambda= \frac{\Delta y^2}{\Delta x^2} = 1

por ser los tamaños de paso iguales en ambos ejes, se simplifica la ecuación a usar:


u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1] = =\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)
u[i-1,j]-4u[i,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]+u[i,j+1] =\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)

Por simplicidad se usará el método iterativo en el ejercicio, por lo que se despeja la ecuación del centro del rombo formado por los puntos,


4u[i,j] = u[i-1,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]+u[i,j+1] -\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)
u[i,j] = \frac{1}{4}\Big( u[i-1,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]+u[i,j+1] -\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)\Big)

Iteraciones:

Se utiliza una matriz de ceros para la iteración inicial. En el ejercicio se muestran cálculos para 3 nodos, el resto se realiza con el algoritmo en Python.

Para varias iteraciones se usa Δx =Δy = 1/4 = 0.25

y las ecuaciones para los valores en las fronteras o bordes de la placa

U(x,1)= x \ln (x), U(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2 U(1,y)= y \ln(y), U(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt x \lt 2

i=1, j=1


u[1,1] = \frac{1}{4}\Big( u[0,1]+u[2,1] + + u[1,0]+u[1,2] -(0.25)^2\Big( \frac{1.25}{1.25} + \frac{1.25}{1.25}\Big)\Big)
u[1,1] = \frac{1}{4}\Big(1.25 \ln (1.25)+0 + + 1.25 \ln(1.25) + 0 -(0.25)^2\Big( \frac{1.25}{1.25} + \frac{1.25}{1.25}\Big)\Big)

i = 2, j =1


u[2,1] = \frac{1}{4}\Big( u[1,1]+u[3,1] + + u[2,0]+u[2,2] -(0.25)^2\Big( \frac{1.5}{1.5} + \frac{1.5}{1.5}\Big)\Big)