s3Eva_IT2017_T4 EDP elíptica, placa desplazada

La ecuación del problema en forma contínua:

\frac{\delta ^2 U}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 U}{\delta y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

1 <  x < 2
1 <  y < 2

Se convierte a la versión discreta usando diferencias divididas centradas


\frac{u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j]}{\Delta x^2} + + \frac{u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1]}{\Delta y^2} = \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}

Se agrupan los términos Δx, Δy semejante a formar un λ al multiplicar todo por Δy2

\frac{\Delta y^2}{\Delta x^2}\Big(u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] \Big) + + \frac{\Delta y^2}{\Delta y^2}\Big(u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1]\Big) = =\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)
\lambda= \frac{\Delta y^2}{\Delta x^2} = 1

por ser los tamaños de paso iguales en ambos ejes, se simplifica la ecuación a usar:


u[i-1,j]-2u[i,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]-2u[i,j]+u[i,j+1] = =\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)
u[i-1,j]-4u[i,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]+u[i,j+1] =\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)

Por simplicidad se usará el método iterativo en el ejercicio, por lo que se despeja la ecuación del centro del rombo formado por los puntos,


4u[i,j] = u[i-1,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]+u[i,j+1] -\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)
u[i,j] = \frac{1}{4}\Big( u[i-1,j]+u[i+1,j] + + u[i,j-1]+u[i,j+1] -\Delta y^2\Big( \frac{x_i}{y_j} + \frac{y_j}{x_i}\Big)\Big)

Iteraciones:

Se utiliza una matriz de ceros para la iteración inicial. En el ejercicio se muestran cálculos para 3 nodos, el resto se realiza con el algoritmo en Python.

Para varias iteraciones se usa Δx =Δy = 1/4 = 0.25

y las ecuaciones para los valores en las fronteras o bordes de la placa

U(x,1)= x \ln (x), U(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2 U(1,y)= y \ln(y), U(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt x \lt 2

i=1, j=1


u[1,1] = \frac{1}{4}\Big( u[0,1]+u[2,1] + + u[1,0]+u[1,2] -(0.25)^2\Big( \frac{1.25}{1.25} + \frac{1.25}{1.25}\Big)\Big)
u[1,1] = \frac{1}{4}\Big(1.25 \ln (1.25)+0 + + 1.25 \ln(1.25) + 0 -(0.25)^2\Big( \frac{1.25}{1.25} + \frac{1.25}{1.25}\Big)\Big)

i = 2, j =1


u[2,1] = \frac{1}{4}\Big( u[1,1]+u[3,1] + + u[2,0]+u[2,2] -(0.25)^2\Big( \frac{1.5}{1.5} + \frac{1.5}{1.5}\Big)\Big)

Método iterativo

usando el método iterativo se obtiene los siguientes resultados:

iteraciones:  15
error entre iteraciones:  6.772297286980838e-05
solución para u: 
[[0.         0.27892944 0.60819766 0.97932763 1.38629436]
 [0.27892944 0.69781162 1.1792239  1.7127402  2.29072683]
 [0.60819766 1.1792239  1.8252746  2.53384036 3.29583687]
 [0.97932763 1.7127402  2.53384036 3.42800537 4.38467039]
 [1.38629436 2.29072683 3.29583687 4.38467039 5.54517744]]
>>> 

usando el siguiente algoritmo:

# 3Eva_IT2017_T4 EDP elíptica, placa desplazada
# método iterativo
import numpy as np

# INGRESO
# longitud en x
a = 1
b = 2
# longitud en y
c = 1
d = 2
# tamaño de paso
dx = 0.25
dy = 0.25
# funciones en los bordes de la placa
abajo     = lambda x,y: x*np.log(x)
arriba    = lambda x,y: x*np.log(4*(x**2))
izquierda = lambda x,y: y*np.log(y)
derecha   = lambda x,y: 2*y*np.log(2*y)
# función de la ecuación
fxy = lambda x,y: x/y + y/x

# control de iteraciones
maxitera = 100
tolera = 0.0001

# PROCEDIMIENTO
# tamaño de la matriz
n = int((b-a)/dx)+1
m = int((d-c)/dy)+1
# vectores con valore de ejes
xi = np.linspace(a,b,n)
yj = np.linspace(c,d,m)
# matriz de puntos muestra
u = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float)

# valores en los bordes
u[:,0]   = abajo(xi,yj[0])
u[:,m-1] = arriba(xi,yj[m-1])
u[0,:]   = izquierda(xi[0],yj)
u[n-1,:] = derecha(xi[n-1],yj)

# valores interiores
# para menos iteraciones
mitadx = int(n/2)
mitady = int(m/2)
promedio = (u[mitadx,0]+u[mitadx,m-1]+u[0,mitady]+u[n-1,mitady])/4
u[1:n-1,1:m-1] = promedio

# método iterativo
itera = 0
converge = 0
while not(itera>=maxitera or converge==1):
    itera = itera +1
    # copia u para calcular errores entre iteraciones
    nueva = np.copy(u)
    for i in range(1,n-1):
        for j in range(1,m-1):
            # usar fórmula desarrollada para algoritmo
            u[i,j] = (u[i-1,j]+u[i+1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1]-(dy**2)*fxy(xi[i],yj[j]))/4 
    diferencia = nueva-u
    erroru = np.linalg.norm(np.abs(diferencia))
    if (erroru<tolera):
        converge=1

# SALIDA
print('iteraciones: ',itera)
print('error entre iteraciones: ',erroru)
print('solución para u: ')
print(u)

# Gráfica
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# matrices de ejes para la gráfica 3D
X, Y = np.meshgrid(xi, yj)
U = np.transpose(u) # ajuste de índices fila es x
figura = plt.figure()

grafica = Axes3D(figura)
grafica.plot_surface(X, Y, U, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.Reds)

plt.title('EDP elíptica')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()