2Eva_IIT2018_T3 EDP

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 3. (40 puntos) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP) usando un método de diferencias finitas. Considere b = 0

\frac{\delta u}{\delta t} = \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + b\frac{\delta u}{\delta x} 0<x<1, t>0

condiciones de frontera U(0,t)=0, U(1,t)=1

condiciones de inicio U(x,0)=0, 0≤x≤1

a) Aproxime la solución con h=0.25, realice dos pasos en t

b) estime el error.

Rúbrica: Plantea la malla (5 puntos), Conoce las fórmulas de las derivadas (5 puntos), Plantea la ecuación en los nodos de la malla (5 puntos), plantea las condiciones iniciales y condiciones de borde (5 puntos), Establece el valor de lamda y calcula el tamaño del paso k, (5 puntos) Realiza dos pasos (5 puntos), Conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula el error (5 puntos).

3Eva_IT2018_T3 EDP Parabólica, temperatura en varilla

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 3. (30 puntos) La temperatura u(x,t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de calor. Si se genera calor en el material (por ejemplo, debido a la resistencia de la corriente), la ecuación se convierte en:

\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{Kr}{\rho C} = K\frac{du}{dt} 0 \lt x \lt L, 0 \lt t
Donde: Suponga que:
L es la longitud, L =  1.5 cm
ρ es la densidad, ρ = 10.6 g/cm3
C es el calor específico C = 0.056 cal/g deg
K es la difusividad térmica de la varilla K = 1.04 cal/cm deg s
La función r = r(x,t,u) representa el calor generado por unidad de volumen. r(x,t,u) = 5 cal/g deg

Si los extremos de la varilla se mantienen a 0°C, entonces

u(0,t) = u(L,t) = 0, t>0

Suponga que la distribución inicial de la temperatura está dada por:

u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi x}{L} \Big), 0 \le x \le L

Aproxime la distribución de la temperatura con h=0.25, k=0.025 para t=3k


Referencia: Burden 9ed Chapter 12 exercise 18 p738

2Eva_IT2018_T3 EDP Eliptica

2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

Tema 3. (25 puntos) Considere el problema con valores en la frontera:

\frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 u}{\delta y^2} = 2(x^2+y^2) 0<x<1 0<y<1

con las condiciones de frontera en los mismos intervalos que la ecuacion diferencial:

u(x,0) = x + 1 u(0,y) = y+1 u(x,1) = x^2 + x +2 u(1,y) = y^2 + y +2

Use el método de diferencias finitas para resolver el problema tomando como tamaño de paso hx = hy = 1/3

Rúbrica: Selección de diferencias finitas divididas, gráfica del problema (5 puntos), ecuación generalizada con diferencias finitas divididas (5 puntos), Sistema de ecuaciones para los puntos desconocidos (10 puntos). Valores de los puntos desconocidos (5 puntos)

 

3Eva_IIT2017_T3 EDP Elíptica

3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

Tema 3. Aproxime la solución de la siguiente EDP elíptica.

\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{d^2u}{dy^2} = (x^2 + y^2) e^{xy} 0 \lt x \lt 2, 0 \lt y \lt 1

con condiciones de frontera

u(0,y) = 1 , u(2,y) = e^{2y}, 0 \leq y \leq 1 u(x,0) = 1, u(x,1) = e^x , 0 \leq x \leq 2

a) use tamaños de paso h = 2/3 y k = 1/3

b) compare con la solución u(x,y) = exy en forma gráfica

2Eva_IIT2017_T3 EDP parabólica con diferencias regresivas

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 3. Aproxime la solución de la sigiente EDP parcial usando diferencias regresivas

\frac{dU}{dt} - \frac{1}{16} \frac{d^2U}{dx^2} = 0 0 \lt x \lt 1 , 0\lt t U(0,t) = U(1,t) = 0, 0\lt t, U(x,0) = 2 \sin (\pi x), 0\leq x \leq 1

a) Plantee las ecuaciones usando hx = 1/3, ht = 0.05, T = 2

b) Calcule U(xi,tj)

c) Plantee el error de U(xi,tj)

3Eva_IT2017_T4 EDP elíptica

3ra Evaluación I Término 2017-2018. 11/Septiembre/2017. MATG1013

Tema 4.  Aproxime la solución de la EDP elíptica:

\frac{\delta ^2 U}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 U}{\delta y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

1 <  x < 2
1 <  y < 2

U(x,1) = x ln(x), U(x,2) = x ln (4x2), 1 <  x < 2
U(1,y) = y ln(y), U(2,y) = 2y ln (2y), 1 <  x < 2

use h = k = 0.5

2Eva_IT2017_T3 EDP parabólica

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:

\frac{\delta u}{\delta t} - \frac{1}{\pi ^2} \frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} =0

0 ≤ x ≤ 1, t>0

condiciones de borde: u(0,t) = u(1,t) = 0, t>0,
condiciones iniciales u(x,0) = cos(π(x-0.5)), 0 ≤ x ≤ 1

a) Use dx = 0.2 y dt = 0.01. Realize 3 pasos en el tiempo.

b) Estime el error.

c) Calcule la temperatura promedio para t=0 como el área bajo la curva, mediante el método de Simpson. Repita para t=0.01 y calcule el porcentaje que disminuye.

Rúbrica: Construir la malla hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i,j hasta 5 puntos, calcular el estimado de u(i,j) hasta la tercera fila hasta 5 puntos, calcular la temperatura media estimada hasta 5 puntos.

3Eva_IT2015_T3 Poisson 3D

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. La ecuación de Poisson se puede escribir en tres dimensiones como

\frac{\delta ^2 T}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 T}{\delta y^2} + \frac{\delta ^2 T}{\delta z^2} = f(x, y ,z)

a. Plantee las Temperaturas dentro de un cubo unitario con condiciones de frontera cero y f = -10. Utilice Δx = Δy = Δz = 1/3

b. Utilice el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema en el literal a, (realice tres iteraciones y estime el error)

2Eva_IT2015_T3 EDP parabólica

2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 3. (30 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica

\frac{\delta u}{\delta t} - \frac{4}{\pi ^2}\frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} = 0 0 \lt\ x \lt 4, 0\lt t u(0,t) = u(4,t) = 0, 0\lt t u(x,0) = \sin \Big( \frac{\pi}{4}x \Big) \Big( 1 + 2 \cos \Big( \frac{\pi}{4}x\Big)\Big) 0 \leq x \leq 4

a) Use n=20 en el sentido de x; y m=10, obtenga el modelo (solo planteado).

b) Aproxime la solución con n=4, hasta 2Δt, y

c) estime el error en el punto P(x1, t1)

3Eva_IIT2014_T3 Advección-difusión

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 3. La ecuación de advección-difusión se utiliza para calcular la distribución de la concentración que hay en el lado largo de un reactor químico rectangular,

\frac{\delta c}{\delta t} = D \frac{\delta^2c}{\delta x^2} - U\frac{\delta c}{\delta x} - kc

Donde:
c=concentración (mh/m3),
t= tiempo (min),
D=coeficiente de difusión (m2/min),
x= distancia a lo largo del eje longitudinal del tanque (m),

donde x=0 en la entrada del tanque,
U =velocidad en la dirección de x (m/min) y
k = tasa de reacción (1/min) con la que el producto químico se convierte en otro.

Desarrolle un esquema explícito para resolver esta ecuación en forma numérica. Pruébela para k=0.15, D=100 y U=1, para un tanque con una longitud de 10 m. Use Δx=1 m, y un Δt=0.005.

Suponga la concentración del flujo de entrada es de 100 y la concentración inicial en el tanque es de cero.

Realice la simulación de t=0 a 100 y grafique las concentraciones en cada tiempo versus x. (Solo dos iteraciones)