1Eva_IIT2010_T2 Sistema ecuaciones, X0 = unos

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por:

\begin {cases} 0.4 x + 1.1 y +3.1z = 7.5 \\ 4x + 0.15y + 0.25z = 4.45\\ 2x+5.6y+3.1z=0.1\end{cases}

De ser posible, manipule el sistema de tal forma que se garantice la convergencia del método de Gauss-Seidel, determine la norma de la matriz T.

Determine la solución con éste método con el vector inicial (1,1,1) y con una tolerancia 10-4.


A = np.array([[0.4, 1.1,  3.1],
              [4.0, 0.15, 0.25],
              [2.0, 5.6, 3.1]])
B = np.array([7.5, 4.45, 0.1])
X = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
tolera = 1e-4
iteramax = 100

3Eva_IIT2009_T3 Sistema de ecuaciones

3ra Evaluación II Término 2009-2010. 23/Febrero/2010. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Enunciar el teorema de convergencia del método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX=B.

Exponer el método iterativo de Gauss-Seidel para sistemas ecuaciones lineales.

Construir un ejemplo de un sistema de 3×3, cuya diagonal principal sea estrictamente dominante y realizar cuatro iteraciones con el método de Gauss-Seidel, comenzando con el vector cero.

1Eva_IIT2007_T2 Aplicar Gauss-Seidel

1ra Evaluación II Término 2007-2008. 4/Diciembre/2007. ICM00158

Tema 2. Dadas las matrices:

A = [[7.63, 0.30, 0.15,  0.50, 0.34, 0.84],
     [0.38, 6.40, 0.70,  0.90, 0.29, 0.57],
     [0.83, 0.19, 8.33,  0.82, 0.34, 0.37],
     [0.50, 0.68, 0.86, 10.21, 0.53, 0.70],
     [0.71, 0.30, 0.85,  0.82, 5.95, 0.55],
     [0.43, 0.54, 0.59,  0.66, 0.31, 9.25]]

B = [[ -9.44],
     [ 25.27],
     [-48.01],
     [ 19.76],
     [-23.63],
     [ 62.59]]

a) Escribir los sitemas AX=B y X=TX+C

b) Determine ||A||, y ||T||

c) Establezca la solución con el método de Gauss-Seidel con una tolerancia de 10-5

1Eva_IIT2011_T2 Sistema de Ecuaciones, diagonal dominante

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM00158

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por

\begin{cases} -2x+5y+9z=1\\7x+y+z=6\\-3x+7y-z=-26\end{cases}

Arregle el sistema de tal manera que la diagonal de A sea estrictamente dominante.

a) Calcular el valor de ||T||

b) Escribir el algoritmo de Gauss-Seidel.

c) Dado X(0) = 0, iterar hasta que

\frac{||X^{(k)} - X^{(k-1)}||}{||X^{(k)}||} \lt 10^{-4}

Escriba una tabla de resultados.


A = np.array([[-2, 5, 9],
              [ 7, 1, 1],
              [-3, 7,-1]])
B = np.array([1,6,-26])

1Eva_IT2012_T2_MN Modelo Leontief

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

TEMA 2. (35 puntos) La matriz insumo-producto propuesto por W. Leontief, es un modelo muy importante en Economía.

En ésta matriz se describe la producción de los diferentes sectores económicos y la demanda interna para satisfacer a estos mismos sectores, expresada como una fracción de su producción.

Ejemplo: Suponga que hay tres sectores
A: agricultura,
M: manufactura
S: servicios
y su demanda interna es:

Matriz T
Producción
A
Producción
M
Producción
S
Demanda A 0.40 0.03 0.02
Demanda M 0.06 0.37 0.10
Demanda S 0.12 0.15 0.19

Sea T el nombre de esta matriz.

Para los datos propuestos, en la primera columna de la matriz T, el sector A requiere 0.4 de su propia producción, 0.06 del sector M, y 0.12 del sector S, etc.

Sea D el vector de demanda externa de cada sector, y X el vector de la producción total de cada sector, requerida para satisfacer las demandas interna y externa:

D = \begin{pmatrix} 80\\ 140\\200 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\x3 \end{pmatrix}

en donde x1, x2, x3 representan la producción total de cada sector.

Entonces la ecuación X = TX + D proporciona la producción total X para satisfacer las demandas externa e interna.

a) Formule un método iterativo en notación vectorial para usar la ecuación anterior. Indique cual es el nombre de la matriz T. Analice esta matriz y determine si el método iterativo es convergente.

b) Comience con un vector inicial X = [200, 200, 200]T realice las iteraciones necesarias hasta que la norma de la diferencia entre dos vectores consecutivos sea menor a 1.
Use la norma de fila.


Referencia: Modelo Input-Output. https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_Input-Output, https://es.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

T = np.array([[0.40, 0.03, 0.02],
              [0.06, 0.37, 0.10],
              [0.12, 0.15, 0.19]])

D = np.array([80.0, 140.0, 200.0],dtype=float)

Xa = np.array([200.0,200.0,200.0])

1Eva_IT2016_T2_MN Organismos patógenos en lago

1ra Evaluación I Término 2016-2017. 28/junio/2016. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (25 puntos) Tres organismos patógenos decaen en forma exponencial en aguas de un lago de acuerdo con el siguiente modelo:

p(t) = A e^{-1.5t} + B e^{-0.3t} + C e^{-0.05t}

Estime la población inicial de cada organismo, dadas las mediciones siguientes:

Tiempo
(horas)
0.5 1 2 3 4
Población
(miles)
6.0 4.4 3.2 2.7 2.2

a) Seleccione los tres primeros puntos y plantee un sistema de 3 ecuaciones.
b) Con el método de Jacobi encuentre la matriz T y comente.
c) Con el método de Gauss Seidel realice tres iteraciones y estime el error.

Rúbrica: Ecuaciones (5 puntos), matriz (5 puntos), comentario (6 puntos), Iteraciones (5 puntos), estimación del error (4 puntos).