3Eva_IIT2018_T1 Integral Doble con Cuadratura de Gauss

3ra Evaluación II Término 2018-2019. 12/Febrero/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Aproxime el resultado de la integral doble:

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{\sin (x)}^{\cos (x)} \Big( 2y \sin(x) + \cos ^2 (x) \Big) \delta y \delta x

a. Use el método de cuadratura de Gauss de dos términos en cada eje

b. Determine el error al comparar el resultado numérico con el valor exacto.

Rúbrica: Plantear el método (5 puntos), desarrollo (10 puntos), plantear el error (10 puntos), valor del error (5 puntos)

2Eva_IIT2018_T1 Masa entra o sale de un reactor

2da Evaluación II Término 2018-2019. 29/Enero/2019. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor químico durante un periodo específico de tiempo. https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico

M = \int^{t_2}_{t_1}Q(t)C(t) dt

t : min
C(t) : mg/m3
Q(t) : m3/min

a) Con los datos mostrados en la tabla y usando los métodos de Simpson 1/3 y 3/8, aproxime la cantidad de masa que sale de un reactor entre t1=0 y t2=25 min.

t 0 5 10 15 20 25
C(t) 10 18 27 35 40 30
Q(t) 4 6 7 6 5 5

b) Estime el error

Rúbrica: Conoce los métodos de Simpson hasta (5 puntos), Calcula la función a integrar hasta (5 puntos), Separa los intervalos hasta (5 puntos), Aplica las fórmulas correctamente hasta (5 puntos). Literal b, conoce las fórmulas del error (5 puntos), calcula los errores (5 puntos)

Referencia: Chapra problema 24.4 p693 pdf717. Reactor químico, https://es.wikipedia.org/wiki/Reactor_qu%C3%ADmico

2Eva_IT2018_T4 Dragado acceso marítimo

2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

Tema 4. (30 puntos) Para una sección de 500 m del acceso marítimo a los puertos de Guayaquil se requiere de un canal con:

  • profundidad mínima de 11 metros MLWS
  • ancho de 250 m

de tal foma que permita navegar buques de carga de mayor tamaño.

Dispone de las mediciones de profundidad mostradas en la tabla de batimetría:

Batimetría
yi \ xi 0 50 100 150 200 250
0 -6.79 -12.03 -10.04 -11.60 -7.24 -7.91
100 -8.85 -10.89 -8.95 -7.23 -11.42 -7.93
200 -11.90 -9.86 -9.35 -12.05 -9.38 -9.65
300 -7.30 -11.55 -10.41 -8.67 -11.84 -6.77
400 -12.17 -9.62 -7.47 -6.51 -9.02 -9.60
500 -11.90 -10.23 -10.68 -9.94 -6.76 -7.46

a) Obtenga la tabla de dragado como la diferencia entre la profundidad del canal requerido y la tabla de batimetría.

b) Estime el volumen de sedimentos a remover por la draga usando integración por el método de Simpson.

Nota: Si el fondo está más alla de los 11 metros, no se requiere la intervención de la draga.

Rúbrica: literal a (5 puntos), selección apropiada del método por rango, aplicación en un eje (15 puntos), integración en el otro eje (5 puntos), presentar las iteraciones correctamente (5 puntos)


MLWS: Nivel Medio de las Bajamares de Sicigia / nivel de referencia.
Batimetría: es el levantamiento del relieve de Superficies Subacuáticas

Referencias: El dragado del canal a los puertos de Guayaquil se anunciará el 26 de marzo del 2018. El comercio. 21/03/2018. https://www.elcomercio.com/actualidad/dragado-canal-puertos-guayaquil-jaimenebot.html.
Calado de puertos. El universo. 2013.08.16 https://www.eluniverso.com/noticias/2013/08/16/nota/1294716/calado-puertos-region-llega-138-m,
Operación Draga: https://www.youtube.com/watch?v=goDq5Ypk–c

profcanal = 11

xi = np.array([ 0.,  50., 100., 150., 200., 250.])
yi = np.array([ 0., 100., 200., 300., 400., 500.])

batimetria = [[ -6.79,-12.03,-10.04,-11.60, -7.24,-7.91],
              [ -8.85,-10.89, -8.95, -7.23,-11.42,-7.93],
              [-11.90, -9.86, -9.35,-12.05, -9.38,-9.65],
              [ -7.30,-11.55,-10.41, -8.67,-11.84,-6.77],
              [-12.17, -9.62, -7.47, -6.51, -9.02,-9.60],
              [-11.90,-10.23,-10.68, -9.94, -6.76,-7.46]]

batimetria = np.array(batimetria)

2Eva_IT2018_T2 Deducir Simpson 1/3

2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

Tema 2. (20 puntos) Deduzca el método de Simpson 1/3


Sugerencias: Una de las formas de plantear la deducción es usando un polinomio de Lagrange con grado 2 para aproximar la función que pasa por los puntos [a,f(a)], [b,f(b)] y [c,f(c)].

Considere que los tramos tienen h tienen tamaño (b-a)/2, (c-a), (b-c)

Plantee la ecuación y sustituya los valores de los tramos por valores de h para resolver todo en función de h.

Rúbrica: Planteo del problema con polinomio (5 puntos), desarrollo del problema con integral (5 puntos c/u).

2Eva_IT2018_T1 Paracaidista wingsuit

2da Evaluación I Término 2018-2019. 28/Agosto/2018. MATG1013

Tema 1. (25 puntos) Si suponemos que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial ordinaria:

\frac{dv}{dt} = g - \frac{cd}{m} v^2

Donde:  http://www.elperiodicodearagon.com/noticias/sociedad/alarma-francia-cinco-muertes-verano-moda-hombres-pajaro-wingsuit_877164.html

  • v es la velocidad en m/s
  • cd es el coeficiente de arrastre de segundo orden Kg/m
  • m es la masa en Kg
  • v = \frac{dy}{dt}
  • y es la distancia que recorre en m

Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 Kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m.

Si la velocidad inicial es 0 y la altura inicial es 1 Km, determine la velocidad y posición en cada tiempo, usando un tamano de paso de 2s.

a) Plantee la solución de las ecuaciones para la velocidad y distancia usando el método de Runge-Kutta de segundo orden

b) Realice tres iteraciones

Rúbrica: literal a (15 puntos), literal b (10 puntos)


Referencia: Alarma en Francia … por moda wingsuit. 23 Agosto 2013. www.elperiodicodearagon.com.  http://www.elperiodicodearagon.com/noticias/sociedad/alarma-francia-cinco-muertes-verano-moda-hombres-pajaro-wingsuit_877164.html

 

 

2Eva_IIT2017_T2 Volumen de isla

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 2. Se tienen las coordenadas (x,y) y las alturas f(x,y) de una isla sobre el nivel del mar obtenidas por internet como se ilustra en la tabla.

El nodo que está en el agua tiene altura cero.

x0 = 0 x1 = 100 x2 = 200 x3 = 300 x4 = 400
 y0 = 0 0 1 0 0 0
y1 = 50 1 3 1 1 0
y2 = 100  5  4 3 2 0
y3 = 150 0 0 1 1 0

Las unidades de los ejes se encuentran en metros.

a) Plantee el volumen de la isla como una integral doble en una región rectangular,

b) Usando los métodos de Simpson, plantee la formulación para aproximar el volumen,

c) Aproxime el volumen de la isla

d) Estime el error


isla = [[0,1,0,0,0],
        [1,3,1,1,0],
        [5,4,3,2,0],
        [0,0,1,1,0]]

xi = [0,100,200,300,400]
yi = [0, 50,100,150])

2Eva_IIT2016_T2_MN Volumen cacao seco

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 2.  En una bodega de 4 m x 6m, hay una montaña de cacao seco listo para empaque.

La tabla indica la altura en metros de la montaña sobre el nodo en el plano medido al centímetro más cercano.

f(x,y) x=0 x=1 x=2 x=3 x=4
y=0 0.38 0.62 0.38 0.08 0.01
y=1.5 1.31 2.16 1.31 0.29 0.02
y=3 1.02 1.68 1.02 0.23 0.02
y=4.5 0.18 0.29 0.18 0.04 0.00
y=6 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00

Use el método de Simpson 1/3 en ambas direcciones para aproximar el volumen V:

V = \int_0^4 \int_0^6 f(x,y)dydx

a) Realice la formulación del método indicando los puntos de la cuadrícula.

b) Estime la cota del error propagado y error total


x = [ 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y = [ 0.0, 1.5, 3.0, 4.5, 6.0]

fxy  = [[0.38, 0.62, 0.38, 0.08, 0.01],
        [1.31, 2.16, 1.31, 0.29, 0.02],
        [1.02, 1.68, 1.02, 0.23, 0.02],
        [0.18, 0.29, 0.18, 0.04, 0.00],
        [0.01, 0.01, 0.01, 0.00, 0.00]]

2Eva_IIT2016_T1_MN Coeficiente Gini

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1.  El coeficiente de Gini es una medida para medir la desigualdad. G=a/(a+b)

Donde b es el área bajo la curva de Lorentz (Porcentaje de ingresos de las personas que menos ganan f(x) versus porcentaje de la población x, a + b = 0.5

Suponga que una población tiene los siguientes ingresos:

Datos de Población
segmento  (%) 20 20 20 20 20
Ingresos ($) 10000 20000 25000 30000 85000

a) Calcule los porcentajes acumulados y construya la función f(x) en función de x
(Curva de Lorentz)

b) Aproxime b = \int_0^1 f(x) dx mediante el método del trapecio,

c) Estime el error


segmento = [  20, 20,  20, 20, 20]
ingresos = [ 10000, 20000, 25000, 30000, 85000]

3Eva_IT2015_T2 Aproximar integral

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 2. Use cuadratura de Gauss de 2 términos tanto para el sentido en x como en y para aproximar la integral

I= \int_0^1 \int_0^1 e^{x^2+y^2} \delta y \delta x

a) Usando n=1 y m=1 (intervalos)
b) Usando n=2 y m=2 (intervalos)


Siendo n y m, el número de intervalos o tramos en el rango de cada eje.