A continuación se presentan cuatro enunciados cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Sean V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}. Es cierto que:
| \bigcirc | Si W_1 y W_2 son subconjuntos de V entonces ( W_1 \cap W_2 ) es un subespacio. |
| \bigcirc | Si W_1, W_2 y W_3 son subespacios de V entonces (W_1 \cap W_2) + W_3 es un subespacio de V. |
| \bigcirc | Si \mathbb{K}=\mathbb{R} y para cada número complejo a+bi se define (a+bi)v=av entonces con esta nueva multiplicación por escalar, V es un espacio vectorial complejo. |
| \bigcirc | Si W_1 y W_2 son subespacios de V entonces W_1+W_2 es el menor subespacio de V que contiene a W_1 \cup W_2. |
Literal b. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ u_1,u_2,...,u_n \} es una base del espacio V, entonces es cierto que:
| \bigcirc | Existe una única transformación lineal tal que T(u_1)=T(u_2)=...=T(u_n). |
| \bigcirc | Si T:V\longrightarrow W y G:V\longrightarrow W son dos transformaciones lineales entonces T\circ G es una transformación lineal. |
| \bigcirc | Si T:V\longrightarrow W y G:V\longrightarrow W son dos transformaciones lineales entonces T+G es una transformación lineal. |
| \bigcirc | T es un isomorfismo sí, y solo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} es una base de W. |
Literal c. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo \mathbb{K}. Suponga que {\langle \cdotp | \cdotp \rangle} define un producto interno en V. Es cierto que:
| \bigcirc | {\langle v | v \rangle} puede ser un número complejo. |
| \bigcirc | d(x,y)\le d(z,x)+d(y,z). |
| \bigcirc | Si S es un conjunto ortonormal de vectores en V, entonces S es un conjunto linealmente independiente. |
| \bigcirc | Si S es un conjunto ortogonal de vectores en V, entonces S es un conjunto linealmente independiente. |
Literal d. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A\in M_n(\mathbb{R}) asociada a los autovalores \lambda_1 y \lambda_2 respectivamente. Es cierto que:
| \bigcirc | u_1-u_2 es vector propio asociado a A. |
| \bigcirc | \{ u_1,u_2 \} es un conjunto linealmente independiente en \mathbb{R}^n. |
| \bigcirc | Si A es una matriz simétrica, existe un escalar \alpha tal que u_1=\alpha u_2. |
| \bigcirc | Si A es una matriz simétrica y \lambda_1 \neq \lambda_2 entonces \{ u_1,u_2 \} es un conjunto ortogonal. |
