A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.
Enunciado. Sea (V,+,\cdot,\mathbb{K}) un espacio vectorial definido en el campo \mathbb{K}. Considere v_1,v_2,...,v_n vectores en V. Si S es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v_1,v_2,...,v_n, se tiene lo siguiente:
Razonamiento 1
Es verdadero que, si \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0, entonces \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n=\textbf{0}_{V}.
Razonamiento 2
Si v,u \in S y existen escalares \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n tales que\begin{aligned}v&=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n \\ u&=\beta_1 \cdot v_1 + \beta_2 \cdot v_2 + ...+\beta_n \cdot v_n \end{aligned}Haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones adición y multiplicación por escalar, se obtiene quev+u=(\alpha_1 +\beta_1) \cdot v_1 + (\alpha_2 +\beta_2) \cdot v_2 + ...+(\alpha_n +\beta_n) \cdot v_n
Razonamiento 3
Por otra parte, Si \delta \in \mathbb{K} y v \in S se tiene nuevamente que existen escalares \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n tales quev=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_nComo consecuencia de esto\delta \cdot v=(\delta\alpha_1) \cdot v_1 + (\delta\alpha_2) \cdot v_2 + ...+(\delta\alpha_n) \cdot v_n
