El Álgebra Lineal es una de las ramas de las matemáticas que va orientada a la generalización de las operaciones aritméticas. Aquí incluiré material relacionado con: Matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, espacios con producto interno, valores propios, vectores propios y diagonalización.

Introducción

A partir del primer semestre del año 2019 todos los cursos de Álgebra Lineal en la ESPOL se dictan bajo la metodología de aprendizaje activo,AA, a diferencia de los semestres previos en los que se utilizaban procedimientos tradicionales basados en la clase magistral del profesor, sesiones de problemas dictadas por un asistente de docencia, lo cual era evaluado a través de exámenes, lecciones y asignación de tareas constituidas éstas, por demostraciones y problemas, por lo general seleccionados de un libro de texto.

En síntesis, la idea central del método era “enseñar” teniendo como personaje central al profesor, mientras el estudiante permanecía pasivo cuando el instructor y sus asistentes actuaban. La conferencia magistral era la guía para conseguir los objetivos educacionales .

El aprendizaje activo tiene un diferente enfoque, su prédica es convertir en preponderante al “aprendizaje” por sobre la “enseñanza”, privilegiando al estudiante como actor central del proceso y ubicando al profesor y sus asistentes, a una labor de coordinación y consulta.

En evaluaciones efectuadas al proceso, por esta coordinación, se encontró que la aplicación de los procedimientos y mecanismos del aprendizaje activo, por diferentes motivos no han sido aplicados a plenitud, encontrándose además que no existió diferencia significativa en los valores de las notas medias de los dos sistemas (tradicional versus activo), pero sí entre profesores de los diferentes sistemas. Combinando ambas metodologías, las diferencias entre las tasas de aprobación oscilaron entre 33% la menor y 93% la mayor.

Los asuntos relacionados con el proceso enseñanza-aprendizaje del Álgebra Lineal a nivel universitario, han sido estudiados con amplitud por múltiples autores, habiéndose encontrado, entre otros resultados, que el material cubierto es dificil de asimilar por los estudiantes, tanto por su abstracción y naturaleza áltamente teórica, así como por su formato lógico ( Stewart, 2018).

No es por tanto sorpresivo que la ESPOL registre, históricamente, índices de baja aprobación en sus cursos de álgebra lineal, si se comparan con los de la mayoría de cursos de ciencias que se dictan en  las diferentes opciones profesionales.

Buscando asegurar la calidad, al mismo tiempo que tratando de mejorar las tasas de aprobación, sus autoridades administrativas y académicas dieron paso a procedimientos de  innovación educativa para este curso, expresadas en la aplicación de procedimientos de aprendizaje activo, junto con las técnicas, recursos y medidas administrativas que corresponden.

Mireya Rafaela Bracamonte Peña.

Resultados

Resultados del semestre 2019-1.

Un total de diecinueve paralelos fueron establecidos en el primer semestre del curso lectivo 2019-2020, todos dictados dentro de la modalidad de aprendizaje activo, los msimos que fueron atendidos por diez diferentes profesores y cinco técnicos docentes.

En el esquema gráfico que se muestra a continuación de este texto, se resumen los resultados (en cuanto a aprobación) del semestre recientemente concluído, pudiendo apreciarse que aún se mantienen algunas heterogeneidades, al menos en lo referente a tasas de aprobación, existiendo en un caso 7% de reprobados mientras que en otro paralelo, esta tasa llega 67%.

Sería importante, analizar estos resultados, bajo un enfoque netamente científico, a fin de determinar las razones de estas discordancias al mismo tiempo que para aprender los unos de los otros en cuanto a éxitos, así como para corregir errores si fuere el caso.

 

 

Matrices

En este capítulo se hace un tratamiento de matrices, que será de gran utilidad en un primer curso de álgebra lineal.

Visto como capítulo complementario, no se presentarán todas las demostraciones de las proposiciones contenidas en cada sección sobre todo, aquellas que pudieran ser muy extensas y que se pueden prescindir sin alterar el objetivo del texto. Sin embargo, no se puede prescindir de todas, ya que sí es importante que el lector desarrolle la habilidad de familiarizarse con demostraciones de algunos enunciados matemáticos.

A lo largo de este texto se trabaja con un campo de números denotado por , que puede ser (Conjunto de los números reales) ó (el conjunto de los números complejos) y cualquier afirmación relativa a significa que es válida en los dos casos. Se dice que un elemento de es un escalar.

Se requiere, para iniciar un curso básico de álgebra lineal, que el lector tenga ciertos conocimientos básicos como: operaciones con números reales y número complejos, métodos de resolver sistemas de ecuaciones (sustitución, igualación y/o reducción); así como también debe poseer habilidades y destrezas básicas para realizar un estudio sistemático e idealmente autónomo.

 

Puedes descargar el material completo: Notas de matrices Bracamonte Marchan

Sistemas de ecuaciones

La justificación de iniciar este texto con el estudio de matrices y determinantes puede palparse de forma inmediata en este nuevo capítulo de sistemas de ecuaciones lineales.

  En este estudio se emplearan frecuentemente las matrices, para expresar de forma clara, concisa y elegante los sistemas de ecuaciones lineales  y  para la busqueda de soluciones será muy útil el uso de determinantes.
 Por otra parte, es frecuente oír que se hacen algunos «Trucos matemáticos» donde se pretende determinar la edad de una persona, por ejemplo : Si dentro de 10 a\~{n}os Adriana tiene el triple de la edad que tiene ahora, ¿qué edad tendrá entonces?. Y usualmente, por intuisión esto debe tener una solución, pero si se piden cosas como «Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda», debe ser natural preguntar si existe tal solución, si existe cuál es y finalmente cómo se puede hallar la solución si la tiene.
 En general, dado un problema se debe en primer lugar discutir para determinar si tiene o no solución, si tiene solución si es única o no y  posteriormente resolver.   De esto trata es capítulo, pero en particular de aquellos problemas que derivan en una ecuación lineal o en un sistema de ecuaciones lineales.
Aquí puedes descargar las diapositivas utilizadas en clase.
Además del material
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Espacios vectoriales

Cuando se estudia el conjunto de las matrices de orden cuyas entradas se encuentran en un campo , se definen dos operaciones básicas: adición y multiplicación por un escalar y se estudian algunas propiedades de las matrices con estas operaciones. Entonces, es natural preguntarse si puede hacerse algo similar con otros conjuntos. La respuesta a esta inquietud es afirmativa, y se introduce este capítulo con el objetivo de definir formalmente el concepto de espacio vectorial y presentar algunas consecuencias. Posteriormente, se podrá reconocer que el conjunto de las matrices con las operaciones suma y multiplicación por un escalar, es sólo un ejemplo de un espacio vectorial.

 

Descarga aquí la primera parte de la teoría de espacios vectoriales:  Espacios vectoriales Parte I

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