3.1 Sistema – Modelo entrada-salida

Referencia: Lathi 2.1 pdf114, Schaum/Hsu 2.5.B p60

La descripción de un sistema en términos de mediciones en los extremos se denomina Modelo de entrada-salida

.

Para el caso de un circuito eléctrico RLC, la creación del modelo inicia con la descripción de la ecuación que relaciona el voltaje x(t) de entrada y la corriente de salida y(t).

La respuesta de un sistema lineal puede ser expresado como la suma de dos componentes: respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero.

Respuesta
total
= respuesta a
entrada cero
+ respuesta a
estado cero

Ejemplo

Referencia: Lathi 1.8-1 pdf/p.80. Oppenheim problema 2.61c pdf/p.191

Como ejemplo, usaremos la corriente de lazo del circuito mostrado.

FIEC05058_RLCusando la ley de voltajes en lazo se tiene que:

vL(t) + vR(t) +vC(t) = x(t)

que con las leyes de corriente para cada elemento (inductor, resistor y capacitor) se traducen en:

\frac{dy}{dt} +3 y(t) + 2\int y(t)dt = x(t)

Para tener todo en función de un solo operador, se derivan ambos lados de la ecuación:

\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 3\frac{dy}{dt} + 2y(t) = \frac{dx}{dt}

que es la relación de «entrada-salida» del sistema con la entrada x(t) y la salida y(t) que permitirá analizar el sistema que representa el circuito.


Notación D y 1/D

Por conveniencia, para usar una notación más compacta de la ecuación diferencial, el operador dy/dt se cambia por la notación D.

\frac{dy}{dt} = Dy(t) \frac{d^2 y}{dt^2} = D^{2}y(t)

Que convierte la ecuación de entrada-salida a la expresión:

(D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t)

que es identica a la expresión de entrada y salida que describe al circuito.

El operador diferencial es posible usarlo para la notación con integrales,

\int y(t)dt = \frac{1}{D}y(t)

por lo que la expresión del circuito también se puede escribir como

\Big( D + 3D + \frac{2}{D} \Big) y(t) = x(t)

al multiplicar ambos lados por el operador D se convierte nuevamente en una expresión sin denominadores D.

Recuerde: la expresión con operadores D, NO ES una ecuación algebraica, pues la expresión de operadores D aplican solo a y(t).

En adelante, el sistema descrito por ecuaciones diferenciales usa el operador D=\frac{d}{dt}, por ejemplo:

a_2 \frac{d^2}{dt^2}y(t) + a_1 \frac{d}{dt}y(t) + a_0 y(t) = b_1\frac{d}{dt}x(t) + b_0x(t) a_2 D^ 2y(t) + a_1 Dy(t) + a_0y(t) = b_1Dx(t) + b_0 x(t) (a_2 D^ 2 + a_1 D + a_0)y(t) = (b_1D + b_0 )x(t) Q(D) y(t) = P(D) x(t)

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL