3.2 Respuesta entrada cero-LTIC

Referencia: Lathi 2.1 pdf114, Schaum/Hsu 2.5 p60

Siguiendo el modelo entrada-salida del sistema, la respuesta se obtiene como la superposición de sus componentes:

Respuesta
total
= respuesta a
entrada cero
+ respuesta a
estado cero

Para entrada cero se usa x(t)=0, es decir al sistema no se le aplica una señal de entrada, se pone a tierra la entrada y se observa la salida. El sistema, al no tener señal entrada x(t) simplifica el problema a:

Q(D) y(t) = P(D) x(t) Q(D) y(t) = 0

Ejemplo

Referencia: Lathi Ejemplo 2.1.a pdf116, Ejemplo 2.2 pdf 119

Encuentre la respuesta a entrada cero para el sistema LTIC del circuito, descrito por la ecuación:

(D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t)

con las condiciones iniciales de y0(t) =0 , y’0(t) =-5
La entrada cero, x(t)=0 convierte el circuito en:

Se plantean varias formas de desarrollo, para explorar algunas opciones usando los conceptos descritos en la parte teórica:

  1. Desarrollo analítico
  2. Desarrollo usando Python:
    1. con fórmulas simbólicas con Sympy
    2. con Runge-Kutta d2y/dx2 de análisis numérico
  3. Desarrollo usando simulador con:
    1. con diagrama de bloques
    2. como circuito en simulador

1. Desarrollo analítico

Siendo el sistema descrito por:

Q(D) y(t) = P(D) x(t)

Para entrada cero se usa x(t)=0, se quita la fuente y se cierra el circuito, observando solo lo que hace el sistema sin señal de entrada. De ésta forma se simplifica la ecuación al eliminar P(D):

(D^2 + 3D +2)y(t) = 0

El polinomio Q(D) es el polinomio característico del sistema, entonces la ecuación característica del sistema es:

λ2 + 3 λ + 2 = (λ+1)(λ+2)
Raíces características Modos característicos
λ1 = -1 e-t
λ2 = -2 e-2t

con los resultados característicos se forma la respuesta a entrada cero como y0(t).

y_0 (t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t}

Para determinar las constantes se usan las condiciones iniciales. No hay señal en la salida al tiempo cero y(0)=0, y para observar que sucedería si el circuito tuviese energía interna, por ejemplo un capacitor cargado se tiene que y'(0)=-5:

y_0 (t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} y'_0 (t) = -c_1 e^{-t} -2c_2 e^{-2t}
evaluando en condiciones iniciales:
 0 =  c1 +  c2
-5 = -c1 - 2c2

se resuelve obeniendo:
c1 = -5 
c2 = 5

que al sustituir en la ecuacion inicial, se tiene la respuesta a entrada cero:

y_0(t) = -5e^{-t} +5e^{-2t}

La gráfica muestra el sentido de la corriente, usando la carga residual del capacitor dentro del circuito, a pesar de no tener señal de entrada a partir del tiempo 0 hasta 5:

Para determinar los valores de las constantes, se puede usar algunas instrucciones sencillas en Pyton y Numpy, para las raices del polinomio se usan solo los coeficioentes de grado mayor a menor.

>>> import nupmpy as np

>>> np.roots([1,3,2])
array([-2., -1.])

Para los coeficientes se plantean las ecuaciones de la forma matricial Ax=B:

>>> A = [[ 1, 1],
	 [-1,-2]]
>>> B =  [ 0,-5]
>>> np.linalg.solve(A,B)
array([-5.,  5.])
>>>

La parte de las gráficas se desarrollan en las secciones dedicadas usar Python para obtener las respuestas.

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