3.3 Respuesta a impulso – LTIC

Referencia: Lathi Ejemplo 2.4 pdf123, Oppenheim problema 2.2.2 p97/pdf122

A la entrada x(t) de un sistema se aplica un impulso unitario δ(t) semejante a un destello en un tiempo muy pequeño.

El impulso es semejante a tomar una foto con flash en una habitación obscura, con todo tranquilo, sin movimientos. Luego del flash, a pesar que ya no exista más la luz, todos las personas o seres vivos reaccionan al destello de luz durante un tiempo. Es la respuesta al impulso del sistema.

La respuesta del sistema se puede entonces comprender como la suma de una señal contínua enviada por una secuencia de impulsos cuando el tiempo entre impulsos tiende a cero.

Para un sistema de orden 2 parte de la expresión:

Q(D)y(t)=P(D) x(t) (a_0 D^2+a_1 D + a_2)y(t)=(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) x (t)

para disminuir la cantidad de variables, a0=0, es decir dividimos la ecuación para a0, como aún son variables desconocidas, se mantiene la nomenclatura.

(D^2+a_1 D + a_2)h(t)=(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) \delta (t)

La respuesta de un sistema al impulso unitario δ(t) aplicada en t=0, con todas las condiciones iniciales en cero en t=0-, se conoce como h(t).

Para el análisis se consideran dos intervalos:

Para t≥0+ donde x(t)=0, cuya respuesta es conocida como los términos de modos característicos

(D^2+a_1 D + a_2)h(t)=0, t \ge 0

h(t) = términos de modos característicos

Para t=0 donde existe x(t)=δ(t), que suma a lo anterior una constante A0 por un impulso.

h(t) = A0 δ(t) + términos de modos característicos

que al insertar esta ecuación en la expresión original tenemos:

(D^2+a_1 D + a_2)(A_0 \delta(t) + \text{términos modos característicos}) = =(b_0 D^2 + b_1 D + b_2) \delta (t)

que al multiplicar la parte de la izquierda, y comparando términos de ambos lados se determina que A0 = b0

que es como expresar

h(t) = b_0 \delta (t) + \text{modos característicos}

y si el orden del lado derecho es menor que el del izquierdo, b0=0.

Revisar Lathi 2.8 pdf 156 para una descripción más detallada del método.

Método simplificado al emparejar términos

El método permite reducir el procedimiento para determinar h(t) de un sistema LTIC.

h(t) = b_0 \delta (t) + [P(D) y_n(t)] \mu (t)

donde yn(t) es una combinación de modos característicos del sistema sujeto a las condiciones iniciales siguientes:

y_n(0) = y'_n(0) = y''_n(0) = y_n^{(N-2)}(0) = 0 y_n^{(N-1)}(0) = 1

donde y(k)n(0) es el valor de la k-ésima derivada de yn(t) para t=0.

Si orden de P(D) es menor que el orden de Q(D) entonces b0=0 y el término del impulso b0δ(t) en h(t) es cero.

N = 1 yn(0) = 1
N = 2 yn(0) = 0, y’n(0) = 1
N = 3 yn(0) = 0, y’n(0) = 0, y»n(0) = 1
N = 4

Ejemplo

Para el problema del sistema modelo que tiene la ecuación mostrada, se pide determinar la respuesta al impulso unitario h(t).

( D^2 + 3D +2 ) y(t) = Dx(t) ( D^2 + 3D +2 ) y(t) = (D+0)x(t)

Desarrollo Analítico

Es problema tiene un sistema se segundo orden con polinomio característico:

λ2 + 3 λ + 2 = (λ+1)(λ+2)
Raíces características Modos característicos
λ1 = -1 e-t
λ2 = -2 e-2t

con lo que la respuesta tienen la forma:

y_0 (t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} y'_0 (t) = -c_1 e^{-t} -2c_2 e^{-2t}

se toman las condiciones iniciales  de la tabla del método simplificado para emparejar impulsos para N=2, por ser un sistema de segundo orden

y(0) = 0
y'(0) =1

para obtner las ecuaciones al sustituir los valores en las expresiones anteriores:

0 =  c1 + c2 
1 = -c1 - 2c2 

c1 = 1 
c2 = -1

dando como resultado que:

y_n (t) = 1 e^{-t} - 1e^{-2t}

de las ecuaciones iniciales del problema P(D)=D, entonces:

P(D)y_n (t) = Dy_n (t) = y'_n (t) = -e^{-t} + 2e^{-2t}

y para el caso b0=0, el término de segundo orden no se encuentra en P(D), entonces:

h(t)=[P(D)y_n (t)] \mu (t) = (-e^{-t} + 2e^{-2t})\mu (t)

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL