3.4 Respuesta a estado cero – LTIC

Referencia: Lathi 2.4 pdf124, Oppenheim 2.1 p97/pdf125 , Schaum/Hsu 2.5.B p.60

El estado cero del sistema, «Zero-State», supone no hay energía almacenada, que los capacitores están descargados, que recien sale el equipo de la caja.  Para éste caso, la respuesta del sistema se conoce como respuesta a estado cero, «Zero-State response».

Para los problemas presentados se asume que el sistema es lineal , causal e invariante en el tiempo. En la práctica, muchos de los sistemas son causales, pues su respuesta no inicia antes de aplicar una entrada, es decir, todas las entradas a evaluar empiezan en t=0.

la respuesta del sistema y(t) para un LTIC se determina como:

y(t) = x(t) \circledast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau

Es importante observar que el integral de convolución se realiza con respecto a τ en lugar de t.

Si la entrada x(t) y el sistema h(t) son causales, la respuesta también será causal.

y(t)=\begin{cases}\int_{0^{-}}^{t} x(\tau)h(t-\tau) d\tau , & t\ge 0\\ 0, & t<0 \end{cases}

El límite inferior del integral se usa como 0, implica aunque se escriba solo 0 se pretende evitar la dificultad cuando x(t) tiene un impulso en el origen.


Ejemplo 01

Referencia:  Lathi ejemplo 2.6 pdf129

Encuentre la corriente y(t) del circuito RLC, cuando todas las condiciones iniciales son cero y en la entrada se tiene la señal x(t) descrita por:

x(t) = 10 e^{-3t} \mu (t)

Además el sistema tiene respuesta a impulso:

h(t) = \big( 2e^{-2t} -e^{-t}\big)\mu (t)

El ejemplo es la continuación del presentado para respuesta a entrada cero, que tiene la ecuación:

(D^2 + 3D +2)y(t) = Dx(t)

Desarrollo Analítico

La respuesta se obtiene aplicando convolución:

y(t) = x(t) \circledast h(t) = [ 10 e^{-3t} \mu (t)] \circledast [(2e^{-2t} - e^{-t}) \mu (t)]

usando la propiedad distributiva de la convolución:

y(t) = [10e^{-3t} \mu (t) \circledast 2e^{-2t} \mu (t)] - [10e^{-3t} \mu (t) \circledast e^{-t} \mu (t)] = 20[e^{-3t}\mu (t) \circledast e^{-2t} \mu (t)] - 10[e^{-3t} \mu(t) \circledast e^{-t} \mu (t)]

Para éste ejercicio se usa la tabla de convoluciones, asi se enfoca en la forma de la señal resultante, el siguiente ejemplo se desarrolla el integral de convolución.

y(t) = 20\frac{e^{-3t} - e^{-2t}}{-3-(-2)}\mu (t) - 10\frac{e^{-3t} - e^{-t}}{-3-(-1)}\mu (t) = -20[e^{-3t} - e^{-2t}]\mu (t) + 5[e^{-3t} - e^{-t}]\mu (t) = [-5e^{-t} + 20e^{-2t} - 15e^{-3t}]\mu (t)

De las gráficas se observa que la entrada es semejante a conectar en la entrada un capacitor con carga, que la pierde en el tiempo.

En la salida se observa el efecto, la parte inicial corresponde a la corriente en el circuito mientras el capacitor de la entrada entrega energía al sistema. Note que en el sistema o circuito se debe ir cargando el capacitor del sistema. Luego, un poco más del segundo 1, la corriente invierte el sentido volviéndose negativa por la carga almacenada en el capacitor del sistema.

La explición breve realizada debería ser comprobada en los experimentos de laboratorio, preferiblemente a escala menor con componentes tipo electrónico.
Proponer como tarea.

Ejemplo 02

Referencia: Lathi Ejemplo 2.5 pdf127

Para un sistema LTIC, si la respuesta al impulso es

h(t) = e^{-2t} \mu (t)

determine la respuesta y(t) para la entrada

x(t) = e^{-t} \mu (t)

Desarrollo Analítico

Para éste ejercicio se desarrollará la integral de convolución. La entrada y respuesta al impulso se convierte a:

x(\tau) = e^{-\tau} u(\tau) h(t-\tau) = e^{-2(t-\tau)} u(t-\tau)

recuerde que la integración es respecto a τ enel intervalo 0≤τ≤t.

y(t) = \begin{cases} \int_{0}^{t} e^{-\tau}u(\tau) e^{-2(t-\tau)}u(t-\tau) d\tau , & t\ge 0 \\0, & t \lt 0 \end{cases}

Los valores de u(τ) =1 debido a se convierte a 0 para τ<0 y en el caso de u(t-τ)=1 se conviertea 0 cuando τ≥t.

y(t) = \int_{0}^{t}e^{-\tau} e^{-2(t-\tau)} d\tau = \int_{0}^{t} e^{-\tau} e^{-2t} e^{2\tau} d\tau = e^{-2t} \int_{0}^{t} e^{\tau} d\tau = e^{-2t} e^{\tau} \Big|_0^t

Evaluado en el rango de integración:

= e^{-2t} (e^{t} - 1) = e^{-t} - e^{-2t}

para t≥0, y además como y(t) = 0 para t<0

y(t) = (e^{-t} - e^{-2t})u(t)

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL