Sistemas – Invarianza en el tiempo

Referencia: Oppenheim 1.6.5 p50/pdf78, Lathi 1.7-2 pdf76, Schaum/Hsu p18

Si el comportamiento de un sistema y las características del mismo están fijos en el tiempo, se los llama invariantes en el tiempo.

Por ejemplo, para un circuito RC, los valores de la resistencia y capacitor fijos no varian si se realiza un experimento o medición hoy o mañana.

Expresando lo mismo como:
Un sistema es invariante en el tiempo si aun corrimiento de tiempo en la señal de entrada ocasiona un corrimiento en el tiempo en la señal de salida.

y(t) = x(t)
y(t-t0) = x(t-t0)

Ejemplo 1

Referencia: Oppenheim 1.14 p51/pdf78

Para muestra de lo indicado, considere un sistema definido como:

y(t) = \sin(x(t)) \text{, siendo x(t)=t} y(t-t_0) = \sin(x(t - t_0))

Por otro lado, si la respuesta de la señal se modifica en el tiempo, el sistema será VARIANTE en el tiempo:

Ejemplo 2

Referencia: Oppenheim 1.14 p51/pdf78. Schaum ejercicio 1.39 p48

Considere el sistema:

y(t) = x(2t)

que tiene escalamiento en el tiempo. y(t) es una versión comprimida de x(t). Los corrimientos/desplazamientos en el tiempo también serán comprimidos por un factor de 2, por lo que por ésta razón el sistema no es invariante en el tiempo.

Siguiendo las indicaciones en el problema presentado en Schaum, donde T se conoce como el «operador lineal«:

El sistema tiene una relación de entrada-salida dada por:

y(t) = T{x(t)} = x(2t)

y t0 es un desplazamiento en el tiempo.

Sea y2(t) la respuesta a x2(t) = x(t-t0) entonces:

y2(t) = T{x2(t)} = x2(2t) = x(2t-t0)

y(t-t0) = x(2(t-t0))

y(t-t0) ≠ y2(t), por lo que el sistema no es invariante en el tiempo. 
El sistema x(2t) se conoce como compresor, pues crea una secuencia de salida cada 2 valores de la secuencia de entrada.

Ejemplo 2

Referencia: Schaum/HSU ejercicio 1.38 p47

Desarrollar semejante al ejercicio anterior, en forma analítica y usando Python.

x(t) = t^2 y(t) = t x(t)

sist_invariatiempo02


Desarrollo en Python

Ejemplo 01

# Sistemas – Invariantes en el tiempo
# Oppenheim 1.14 p51/pdf78
import numpy as np

# INGRESO
a = 0; b = 2*np.pi ; dt=0.1
t0 = 1

xt = lambda t: t
yt = lambda t: np.sin(xt(t))

# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(a,b,dt)

x1 = xt(t)
y1 = yt(t)


# Corrimiento en la entrada
t2x = t + t0
x2 = x1
# efecto en salida
t2y = t + t0
y2 = y1

# evaluación de tiempos desplazados
y3 = yt(t-t0)

# SALIDA - GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1)

plt.plot(t,y1, label='y1(t)')
plt.plot(t2y,y2, 'm.', label='y2(t)')
plt.plot(t,y3, label='y1(t-t0)')

plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.show()

Ejemplo 02

# Sistemas – Invariantes en el tiempo
# Oppenheim 1.16 p52/pdf80
import numpy as np

# INGRESO
a = -5; b = 5 ; dt=0.1
t0 = 2

u = lambda t: np.piecewise(t,t>=0,[1,0])
xt = lambda t: u(t+2)-u(t-2)
yt = lambda t: xt(2*t)

# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(a,b,dt)

x1 = xt(t)
y1 = yt(t)

# Corrimiento en la entrada
t2x = t + t0
x2 = x1
# efecto compresor en salida
t2y = t + t0/2
y2 = y1

# evaluación de tiempos desplazados
x3 = xt(t-t0)
y3 = yt(t-t0)

# SALIDA - GRAFICA
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(1)
plt.subplot(311)
plt.xlim([min(t),max(t)])
plt.plot(t,x1, label='x1(t)')
plt.plot(t,y1, label='y1(t)')
plt.legend()

plt.subplot(312)
plt.xlim([min(t),max(t)])
plt.plot(t2x,x2, label='x2(t)=x1(t-t0)')
plt.plot(t2y,y2, label='y2(t)')
plt.legend()

plt.subplot(313)
plt.xlim([min(t),max(t)])
plt.plot(t,y3,color ='orange', label='y1(t-t0)')
plt.xlabel('t')
plt.legend()
plt.show()

Sistemas – con o sin memoria

Referencia: Oppenheim 1.6.1 p44/pdf71 , Lathi 1.7-3 pdf/p.76, Schaum/Hsu 1.5.C p17

Si la salida de un sistema depende solo del valor aplicado en la entrada para un tiempo cualquiera, se dice que el sistema es sin memoria. Resistor01
El ejemplo más común es un sistema con un resistor:

y(t) = Rx(t)

Por otra parte, si el sistema depende de los valores anteriores de la entrada, se lo considera con memoriacapacitor01

Tal es el caso de un capacitor, cuyo valor de salida depende de lo acumulado desde el tiempo -∞ hasta t.

y(t) =\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau

Los sistemas sin memoria también se conocen como instantaneos, que son un caso particular de los sistemas dinámicos (con memoria).

Un sistema  cuya respuesta en t está determinada por los anteriores T segundos, es decir el intervalo (tT), se lo conoce como «sistema con memoria finita»

 

Sistemas – Causalidad

Referencia: Lathi 1.7-4 pdf/p.77, Oppenheim 1.6.3 p46/pdf74, Schaum/Hsu 1.5.D p17

Un sistema es CAUSAL (no-anticipativo o físico) si la salida y(t) en un valor arbitrario de tiempo t=t0 depende solo de la entrada x(t) para t ≤ t0 , es decir depende solo de los valores presentes y/o pasados de la entrada; no depende de valores futuros.

No es posible obtener una salida antes que se aplique la entrada.

Ejemplos:

y(t) = x(t - 1)

si t es en segundos, la salida depende de los valores de x hace un segundo o (t-1)


En el caso contrario, los sistemas NO CAUSALES muestran una salida anticipada a la señal de entrada:

y(t) = x(t + 1)

si t es en segundos, la salida depende de los valores que x tendría un segundo después o (t+1).  Si t es en días, la situación se vuelve complicada de realizar, es como decir: para determinar el valor de la variable y(t) HOY, necesitamos conocer el valor de x(t+1) que es MAÑANA.

https://www.elcomercio.com/guaifai/volver-futuro-tecnologia-futurologia.html

Los sistemas no-casuales por tener variable independiente referenciada a tiempo futuro, no se pueden implementar en tiempo real. Sin embargo si los sistemas no causales se realizan con variables diferentes al tiempo, por ejemplo espacio se podrían implementar.

Aunque si considera que los datos de tiempo registrado para un evento, el análisis se puede realizar en un rango donde los no-causales aún se podrían analizar o procesar aunque no en tiempo real.

Considere los eventos de interés mundial como que se transmiten con un retardo de segundos para corregir «fallos» o por seguridad, se puede aún editar lo que el los observadores en televisión pueden observar, en tiempo «casi real»

Por ejemplo:

» La cadena de televisión NBC transmitirá la ceremonia de apertura de los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016 con una hora de retraso …  eso permitirá a los productores «curar» la cobertura para proporcionar un contexto adecuado.» 12-Julio-2016

http://www.hoylosangeles.com/deportes/rio2016/hoyla-rio2016-nbc-transmitira-inauguracion-demora-story.html

«In radio and television, broadcast delay is an intentional delay when broadcasting live material. Such a delay may be short (often seven seconds) to prevent mistakes or unacceptable content from being broadcast.»

https://en.wikipedia.org/wiki/Broadcast_delay

 

Sistemas Interconexiones

Los sistemas pueden crearse a partir de subsistemas más sencillos. La interconexion entre los sistemas permite resolver problemas de mayor complejidad.

La interconexión de dos sistemas puede ser realizada de tres maneras:

  1. Interconexión en serie (cascada)
  2. Interconexión en paralelo
  3. Interconexión en serie-paralelo
  4. Interconexión con retroalimentación.

Para ilustrar las formas de interconexión de forma gráfica se usan los diagramas de bloques, al interconectar las salidas y entradas entre bloques.

Inteconexión en serie

sistema serie

Los subsistemas se conectan secuencialmente usando la salida a una entrada.

Ejemplo: la salida de video de la computadora hacia la entrada de video del proyector en el aula de clases, usada para proyectar el contenido del curso.

Inteconexión en Paralelo

fiec05058Sistema04

La señal de entrada se aplica simultaneamente o en paralelo a dos los subsistemas, el símbolo ‘+’ expresa que el resultado es la suma de los resultados de los sistemas 1 y 2.

Interconexión serie-paralelo

fiec05058Sistema05

Interconexión con retroalimentación

fiec05058Sistema06

Los sistemas retroalimentados permiten «regular» la salida «observando una parte de la misma

Referencia: Oppenheim 1.5.2 pdf/p.69, Schaum/Hsu pdf/p.30

Sistemas – contínuos y discretos

Referencia: Oppenheim 1.5 pdf/p.66, Schaum/Hsu pdf/p.28, Lathi 1.7-5 pdf/p.78

Sistemas contínuos

En un sistema contínuo las señales contínuas de entrada son transformadas en señales  contínuas de salida.

x(t) → y(t)

fiec05058Sistema01

Sistema Discreto

Cuando las entradas de tiempo discreto se transforman en en salidas de tiempo discreto, al sistema se denomina «sistema discreto».

Simbólicamente se representa como:

x[n] → y[n]

fiec05058Sistema02


Sistemas Analógicos y Digitales

Referencia: Lathi 1.7-6 pdf79, 1.3-2 pdf61

Un sistema con señales de entradas y salidas son analógicas es un sistema analógico.

De forma semejante, un sistema cuyas entradas y salidas son digitales es un sistema digital, como una computadora, aunque tambi;en se conoce como un sistema discreto en el tiempol

Sistemas – Linealidad

Referencia: Oppenheim 1.6.6 p53/pdf81, Lathi 1.7-1 pdf73, Schaum/Hsu 1.5.E p18

En un sistema lineal tiene salida proporcional a su entrada.

Un sistema lineal tiene la propiedad de aditividad, es decir, la respuesta a una suma de señales  en la entrada es igual a la suma de las entradas individuales.

  1. La respuesta a:   x1(t) + x2(t) = y1(t) + y2(t)
  2. La respuesta a:  αx1(t)  es αy1(t), donde α es una constante real o compleja cualquiera.

El numeral 2 se conoce como la propiedad de escalamiento u homogeneidad.

cantante03

La propiedad de superposición se plantea como una combinación de las propiedades anteriores:

en tiempo contínuo: 
     αx1(t) + βx2(t) → αy1(t) + βy2(t)
en tiempo discreto:  
     αx1[n] + βx2[n] → αy1[n] + βy2[n]

 

Sistemas

Referencia: Lathi 1.6 pdf/p.72, Oppenheim 1.5 pdf/.66, Schaum/Hsu 1.5 pdf/p.27

Los sistemas se usan para procesar una señal con el objetivo de modificarla, por ejemplo sumar o restar informacion adicional.

fiec05058Sistema01


Ejemplo

un sistema amplificador de audio, tiene como señal de entrada el sonido captado por un micrófono y como salida el sonido amplificado en los parlantes.

cantante02Otro ejemplo de sistema se observa en los efectos que se aplican a una señal de audio de un piano, y por medio de un sistema se modifica la señal para que suene como guitarra.

Para otros ejemplos revisar videos sobre: wah pedals para efectos de guitarra, sintetizadores analógicos, etc.

Representación de sistemas

Un sistema para análisis y diseño es una representación de un proceso físico, que relaciona las señales de entrada x(t) y las señales de salida y(t) obtenidas como respuesta.

La representación puede ser de tipo matemática o en diagramas de bloques con flechas. El sentido de las flechas indican la entrada o salida.

y(t) = h(t) * x(t)
       h(t) = k
y(t) =  k x(t)

fiec05058Sistema01

Entradas y salidas de un sistema

Los sistemas pueden tener.

– Una entrada y una salida (SISO – Single Input, Single output)
– Varias entradas, varias salidas (MIMO – Multiple Input, Multiple output)

Durante el curso para simplificar el análisis, se usan las representaciones de una entrada y una salida (SISO), Ejemplo: audio monofónico o de un solo canal.

El bloque del sistema

Un sistema se puede realizar por:
– Componentes físicos (hardware: componentes electrónicos)

FIEC05058_RLC_board

FIEC05058_RLC_solo

– Algoritmos (software: calculan la nueva señal a partir de la entrada)

arduinouno01arduinouno02

Un sistema puede estar compuesto de subsistemas interconectados, caracterizados por sus terminales de entrada y salida.

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Dependiendo de las propiedades que tiene un sistema o las que se quieren utilizar, se realizan diferentes aplicaciones de los sistemas.