Diagramas de Bloques con s

Representaciones en diagramas de bloques para los sistemas LTI causales descritos por ecuaciones diferenciales y funciones racionales del sistema. (Oppenheim 9.8.2)

Ejemplo 1.

referencia: Oppenheim ejemplo 9.28 p708/pdf736

Considere un sistema LTI causal

\frac{\delta y(t)}{\delta t} + 3y(t) = x(t) Dy(t) + 3y(t) = x(t) Dy(t) = x(t) -3y(t) y(t) = \frac{1}{D}[x(t) - 3y(t)]

usando s en lugar de D

y(s) = \frac{1}{s} [x(s) - 3 y(s)]

usando la transformada de Laplace, cambiando s por d/dt desde la primera ecuación, la función del sistema es:

( s+3) y(s) = x(s)

por lo que y(s)/x(s) es:

H(s) = \frac{1}{s+3}

al cambiar el signo en el coeficiente de la multiplicación de la trayectoria de retroalimentación, obtenemos una forma de diagrama de bloques similar a la anterior, pero con la que se verifica que:

H(s) = \frac{\frac{1}{s}}{1+\frac{3}{s}} = \frac{1}{s+3}

que confirma que:

\frac{Y(s)}{X(s)} = H(s) = \frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}

siendo H1 el bloque superior, y H2 el bloque inferior en el diagrama.


Ejemplo 2

referencia: Oppenheim ejemplo 9.30 p711/pdf739

Considere el sistema causal de segundo orden con la funcion del sistema:

H(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s^2 + 3s +2}

la entrada x(t) y la salida y(t) para este sistema satisfacen la ecuación diferencial:

\frac{\delta^2(t)}{\delta t^2} + 3 \frac{\delta y(t)}{dt} + 2 y(t) = x(t) (s^2 + 3s + 2)y(t) = x(t)

pero también se puede armar como:

H(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{k_1}{s+1} + \frac{k_2}{s+2}

siendo el numerador :

k_1s + 2k_1 + k_2s + k_2 = (k_1 + k_2)s + (2k_1 +k_2)

que se observa que debe dar:
(k_1 + k_2)s + (2k_1 +k_2) = 0s + 1

entonces

k_1 + k_2 = 0 2k_1 + k_2 = 1

con lo que

k1 = 1 y
K2 = -1
H(s) = \frac{1}{s+1} -\frac{1}{s+2}

Si

H(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}

se escribe como

H(s) = \Big[\frac{1}{s+1}\Big]\Big[\frac{1}{s+2}\Big]

que se representa como la serie o cascada de dos sistemas de primer orden.

que por cierto, también es la convolución de dos sistemas en serie.

También es posible realizar las fracciones parciales con Sympy y se obtiene:

    1       1  
- ----- + -----
  s + 2   s + 1
>>>

usando las instrucciones:

# Oppenheim 9.30 p711/pdf739
import sympy as sym

s = sym.Symbol('s')
Hs = 1/((s+1)*(s+2))
separa = Hs.apart()

sym.pprint(separa)

Ejemplo 3.

referencia: Oppenheim ejemplo 9.31.p712/pdf739

Considere la funciín del sistema

H(s) = \frac{2s^2 + 4s - 6}{s^2 + 3s + 2}

se puede reescribir como:

H(s) = \Big[\frac{1}{s^2 + 3s + 2} \Big] \Big[ 2s^2 + 4S - 6 \Big]

y si las derivadas se toman del sistema anterior, se tiene una forma mas simplificada:

también, con un poco de trabajo, reordenando las ecuaciones, se podría convertir en:

H(s) = \Big[ 2\frac{s-1}{s+2} \Big] \Big[\frac{s+3}{s+1} \Big]

o también en :

H(s) = 2 + \frac{6}{s+2} - \frac{8}{s+1}

que requiere un sistema en forma paralelo.
QUEDA COMO TAREA HACER EL DIAGRAMA.

Se presenta el ejercicio usando Sympy:

      6       8  
2 + ----- - -----
    s + 2   s + 1
>>>

que se obtiene usando las instrucciones:

# Oppenheim 9.31.p712/pdf739
import sympy as sym

s = sym.Symbol('s')
Hs = (2*s**2+4*s-6)/(s**2+3*s+2)
separa = Hs.apart()

sym.pprint(separa)

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL