Ejemplos para interpretar resultados de series de Fourier de señales periódicas contínuas a partir del algoritmo de la sección anterior.
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]
Ejemplo 1. Señal exponencial periódica con n términos de Fourier
Referencia: Lathi Ej 6.1 p599
Encuentre serie de Fourier para la señal x(t) y muestre el espectro de amplitud y fase de x(t)
x(t) = e^{-\frac{t}{2}} \text{ , }{0 \leq t \leq \pi}
siendo el periodo T0 = π y la frecuencia fundamental f0 = 1/T0 = 1/π Hz,
\omega_0 = \frac{a \pi}{T_0} = 2 \text{ rad/s}1.1 Desarrollo analítico
x(t) = a_0 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (2 n t) +b_n \sin (2 n t) a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t/2} \delta t = 0.504 a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t/2} \cos(2 n t) \delta t = 0.504 \Big( \frac{2}{1+16 n^2}\Big) b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t/2} \sin (2 n t) \delta t = 0.504\Big( \frac{8n}{1+16 n^2}\Big) x(t) = 0.504\Big[ 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{2}{1+16 n^2} \Big)(\cos (2 n t) + 4n \sin (2 n t))\Big]Serie de Fourier en la forma exponencial,
C_0 = a_0 = 0.504 C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} = 0.504\sqrt{ \Big(\frac{2}{1+16 n^2}\Big) ^2 + \Big( \frac{8n}{1+16 n^2} \Big) ^2 } C_n = 0.504\Big( \frac{8}{\sqrt{1+16 n^2}} \Big) \theta_n = \tan ^{-1} \Big( \frac{-b_n}{a_n}\Big) = \tan^{-1} (-4n) = -\tan^{-1}(4n)las amplitudes y fases se muestran en la tabla.
coeficientes: [n, ak, bk, Ck, fase_k ] [[ 0.00e+00 5.0428e-01 0.0000e+00 5.0428e-01 -0.0000e+00] [ 1.00e+00 5.9327e-02 2.3731e-01 2.4461e-01 -1.3258e+00] [ 2.00e+00 1.5516e-02 1.2413e-01 1.2510e-01 -1.4464e+00] [ 3.00e+00 6.9556e-03 8.3467e-02 8.3756e-02 -1.4877e+00] [ 4.00e+00 3.9244e-03 6.2790e-02 6.2912e-02 -1.5084e+00] [ 5.00e+00 2.5151e-03 5.0302e-02 5.0365e-02 -1.5208e+00] [ 6.00e+00 1.7479e-03 4.1950e-02 4.1987e-02 -1.5292e+00] [ 7.00e+00 1.2848e-03 3.5974e-02 3.5997e-02 -1.5351e+00] [ 8.00e+00 9.8396e-04 3.1487e-02 3.1502e-02 -1.5396e+00] [ 9.00e+00 7.7761e-04 2.7994e-02 2.8005e-02 -1.5430e+00] [ 1.00e+01 6.2996e-04 2.5198e-02 2.5206e-02 -1.5458e+00]] >>>
con lo que se puede expresar x(t) como,
Serie de Fourier fs(t)= 0.504279523791290 + 0.0593270027989753 cos(2.0 t) + 0.237308011195901 sin(2.0 t) + 0.0155162930397320 cos(4.0 t) + 0.124130344317856 sin(4.0 t) + 0.00695557963850054 cos(6.0 t) + 0.0834669556620066 sin(6.0 t) + 0.00392435427074932 cos(8.0 t) + 0.0627896683319894 sin(8.0 t) + 0.00251510984434557 cos(10.0 t) + 0.0503021968869117 sin(10.0 t) + 0.00174793595768210 cos(12.0 t) + 0.0419504629843707 sin(12.0 t) + 0.00128478859564658 cos(14.0 t) + 0.0359740806781048 sin(14.0 t) + 0.000983960046422013 cos(16.0 t) + 0.0314867214855049 sin(16.0 t) + 0.000777609134604903 cos(18.0 t) + 0.0279939288457771 sin(18.0 t) + 0.000629955682437573 cos(20.0 t) + 0.0251982272975036 sin(20.0 t)
El bloque de ingreso para el algoritmo es:
# INGRESO t = sym.Symbol('t') T0 = np.pi # intervalo at_lim = 0 bt_lim = at_lim + T0 ft = sym.exp(-t/2) # número de coeficientes n = 11 # Evaluación para gráfica muestras = 101
gráfica de la serie de Fourier comparada con f(t) en un periodo,
Espectro de frecuencias,
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]
Ejemplo 2. Señal triangular periódica
Referencia: Lathi Ej 6.2 p602
Encuentre serie de Fourier para la señal x(t) y muestre el espectro de amplitud y fase de x(t)
x(t) = \begin{cases} 4t & t< -\frac{1}{4} \\ -4t+4 & t\leq \frac{3}{4} \end{cases}
en el algoritmo el bloque de ingreso se escribe el periodo, intervalo y la función como:
# INGRESO t = sym.Symbol('t') T0 = 2 # intervalo at_lim = -T0/4 bt_lim = at_lim + T0 A = 2 ft = sym.Piecewise((0, t<(-T0/4)), ((4*A/T0)*t, t<(T0/4)), (-(4*A/T0)*t+2*A, t<=(3*T0/4)), (0, True)) # número de coeficientes n = 9 # Evaluación para gráfica muestras = 101
coeficientes de la serie de Fourier, magnitud y fase:
coeficientes: [ k, ak, bk ] [[ 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00] [ 1.0000e+00 0.0000e+00 1.6211e+00] [ 2.0000e+00 -1.5593e-16 0.0000e+00] [ 3.0000e+00 0.0000e+00 -1.8013e-01] [ 4.0000e+00 1.5593e-16 0.0000e+00] [ 5.0000e+00 1.7764e-17 6.4846e-02] [ 6.0000e+00 -1.5593e-16 0.0000e+00] [ 7.0000e+00 1.8126e-17 -3.3084e-02] [ 8.0000e+00 1.5593e-16 0.0000e+00]]
Serie de Fourier en forma trigonométrica:
Serie de Fourier fs(t)= 0 + 0 cos(3.141592653589793 t) + 1.62113893827740 sin(3.141592653589793 t) + -1.55926873300775e-16 cos(6.283185307179586 t) + 0 sin(6.283185307179586 t) + 0 cos(9.42477796076938 t) + -0.180126548697489 sin(9.42477796076938 t) + 1.55926873300775e-16 cos(12.566370614359172 t) + 0 sin(12.566370614359172 t) + 1.77635683940025e-17 cos(15.707963267948966 t) + 0.0648455575310958 sin(15.707963267948966 t) + -1.55926873300775e-16 cos(18.84955592153876 t) + 0 sin(18.84955592153876 t) + 1.81260901979617e-17 cos(21.991148575128552 t) + -0.0330844681281103 sin(21.991148575128552 t) + 1.55926873300775e-16 cos(25.132741228718345 t) + 0 sin(25.132741228718345 t)
Comparando la serie de Fourier con f(t)
Espectro de frecuencias de f(t)
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]
Ejemplo 3. Señal rectangular periódica
Referencia: Lathi Ej 6.4 p605, Oppenheim Ej 4.5 p294
Encuentre serie de Fourier para la señal x(t) y muestre el espectro de amplitud y fase de x(t)
x(t) = \begin{cases} 0 & t<-\frac{\pi}{2} \\ 1 & -\frac{\pi}{2} \leq t \lt \frac{\pi}{2} \\ 0 & t>\frac{\pi}{2}\end{cases}# INGRESO t = sym.Symbol('t') T0 = 2*np.pi # intervalo at_lim = -T0/2 bt_lim = at_lim + T0 A = 2 ft = sym.Piecewise((0, t<-(T0/4)), (1, t<(T0/4)), (0, t<(T0/2)), (0, True)) # numero de coeficientes n = 9 # Evaluacion para grafica muestras = 101
la gráfica de f(t) dentro de un periodo:
los coeficientes de la serie de Fourier
coeficientes: [k, ak, bk, Ck, fase_k ] [[ 0.0000e+00 5.0000e-01 0.0000e+00 5.0000e-01 -0.0000e+00] [ 1.0000e+00 6.3662e-01 0.0000e+00 6.3662e-01 -0.0000e+00] [ 2.0000e+00 3.8982e-17 0.0000e+00 3.8982e-17 -0.0000e+00] [ 3.0000e+00 -2.1221e-01 0.0000e+00 2.1221e-01 0.0000e+00] [ 4.0000e+00 -3.8982e-17 0.0000e+00 3.8982e-17 0.0000e+00] [ 5.0000e+00 1.2732e-01 0.0000e+00 1.2732e-01 -0.0000e+00] [ 6.0000e+00 3.8982e-17 0.0000e+00 3.8982e-17 -0.0000e+00] [ 7.0000e+00 -9.0946e-02 0.0000e+00 9.0946e-02 0.0000e+00] [ 8.0000e+00 -3.8982e-17 0.0000e+00 3.8982e-17 0.0000e+00]]
la serie de Fourier en forma trigonométrica
Serie de Fourier fs(t)= 0.500000000000000 + 0.636619772367581 cos(1.0 t) + 0 sin(1.0 t) + 3.89817183251938e-17 cos(2.0 t) + 0 sin(2.0 t) + -0.212206590789194 cos(3.0 t) + 0 sin(3.0 t) + -3.89817183251938e-17 cos(4.0 t) + 0 sin(4.0 t) + 0.127323954473516 cos(5.0 t) + 0 sin(5.0 t) + 3.89817183251938e-17 cos(6.0 t) + 0 sin(6.0 t) + -0.0909456817667973 cos(7.0 t) + 0 sin(7.0 t) + -3.89817183251938e-17 cos(8.0 t) + 0 sin(8.0 t)
comparando la serie de Fourier con f(t):
el espectro de frecuencias,
Algoritmo en Python
# Serie de Fourier, espectro con n coeficientes # Lathi ej 6.1 p599 import numpy as np import sympy as sym import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO t = sym.Symbol('t') T0 = 2 # intervalo at_lim = -T0/4 bt_lim = at_lim + T0 A = 2 ft = sym.Piecewise((0, t<(-T0/4)), ((4*A/T0)*t, t<(T0/4)), (-(4*A/T0)*t+2*A, t<=(3*T0/4)), (0, True)) # número de coeficientes n = 9 # Evaluación para gráfica muestras = 101 # PROCEDIMIENTO k = sym.Symbol('k') w0 = 2*np.pi/T0 # Términos ak para coseno enintegral = ft*sym.cos(k*w0*t) yaintegrado = sym.integrate(enintegral,(t,at_lim,bt_lim)) ak = (2/T0)*yaintegrado ak = sym.simplify(ak) # Términos bk para seno enintegral = ft*sym.sin(k*w0*t) yaintegrado = sym.integrate(enintegral,(t,at_lim,bt_lim)) bk = (2/T0)*yaintegrado bk = sym.simplify(bk) print(' expresión ak:') sym.pprint(ak) print('\n ak formato latex') print(sym.latex(ak)) print('\n expresión bk:') sym.pprint(bk) print('\n bk formato latex') print(sym.latex(bk)) # evalua los coeficientes a0 = ak.subs(k,0)/2 b0 = bk.subs(k,0) aki = [a0] bki = [b0] n_i = [0] i = 1 while not(i>=n): avalor = ak.subs(k,i) bvalor = bk.subs(k,i) aki.append(avalor) bki.append(bvalor) n_i.append(i) i = i+1 # tabla de valores ak, Bk tabla = np.concatenate([[np.array(n_i,dtype = int)], [np.array(aki,dtype = float)], [np.array(bki,dtype = float)]], axis=0) tabla = np.transpose(tabla) np.set_printoptions(precision=4) print('\n coeficientes: \n [ k, \t\t ak, \t bk ] ') print(tabla) # serie de Fourier serieF = a0 + 0*t i = 1 while not(i>=n): serieF = serieF + aki[i]*sym.cos(i*w0*t) serieF = serieF + bki[i]*sym.sin(i*w0*t) i = i+1 # serie = sym.simplify(serie) print('\nSerie de Fourier fs(t)= ') #sym.pprint(termino) print(a0) for i in range(1,n,1): termino = '+ '+str(aki[i])+' cos('+str(i*w0)+' t)'+' + ' termino = termino +str(bki[i])+' sin('+str(i*w0)+' t)' print(termino) # Grafica - evaluación numérica ti = np.linspace(at_lim,bt_lim,muestras) ftn = sym.lambdify(t,ft) fi = ftn(ti) fsn = sym.lambdify(t,serieF) fsi = fsn(ti) tk = np.linspace(-2*T0,2*T0,4*muestras) fk = np.zeros(len(tk)) # ajuste de intervalo de periodo tki = (tk-at_lim)%T0+at_lim fk = ftn(tki) # Grafica f(t) varios periodos figura, graf_ft = plt.subplots() graf_ft.plot(tk,fk,label='f(t)', color= 'blue',linestyle='dashed') graf_ft.plot(ti,fi,label='f(t)',color= 'blue') graf_ft.axvline(at_lim, color ='red') graf_ft.axvline(bt_lim, color ='red') graf_ft.set_xlabel('t') graf_ft.set_ylabel('x(t)') graf_ft.legend() graf_ft.grid() etiqueta = ' , T0='+str(np.round(T0,4)) graf_ft.set_title('x(t) ='+str(ft)+etiqueta) #plt.show() # Grafica f(t) y Fourier en t figura, graf_ftT0 = plt.subplots() graf_ftT0.plot(ti,fi,label = 'f(t)') etiqueta = 'coeficientes = '+ str(n) graf_ftT0.plot(ti,fsi,label = etiqueta) graf_ftT0.set_xlabel('t') graf_ftT0.set_ylabel('f(t)') graf_ftT0.legend() graf_ftT0.grid() graf_ftT0.set_title('Serie de Fourier de f(t)') #plt.show() # espectro de frecuencia k_i = np.arange(0,n,1,dtype=float) ak_i = np.array(aki,dtype=float) bk_i = np.array(bki,dtype=float) ck_i = np.sqrt(ak_i**2 + bk_i**2) cfs_i = np.arctan(-bk_i/ak_i) tabla = np.concatenate([tabla, np.transpose([ck_i]), np.transpose([cfs_i]) ], axis=1) np.set_printoptions(precision=4) print('\n coeficientes: ') print(' [k,\t\t ak,\t bk,\t\t Ck,\t fase_k ]') print(tabla) # grafica de espectro de frecuencia figura, graf_Fw = plt.subplots(2,1) graf_Fw[0].stem(k_i,ck_i,label='Ck_magnitud') graf_Fw[0].set_ylabel('Ck') graf_Fw[0].set_title('Espectro de frecuencia') graf_Fw[0].legend() graf_Fw[0].grid() graf_Fw[1].stem(k_i,cfs_i,label='Ck_fase') graf_Fw[1].legend() graf_Fw[1].set_ylabel('Ck_fase') graf_Fw[1].set_xlabel('k') graf_Fw[1].grid() plt.show()
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]