Ejemplos para interpretar resultados de series de Fourier de señales periódicas contínuas a partir del algoritmo de la sección anterior.
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]
Ejemplo 1. Señal exponencial periódica con n términos de Fourier
Referencia: Lathi Ej 6.1 p599
Encuentre serie de Fourier para la señal x(t) y muestre el espectro de amplitud y fase de x(t)
x(t) = e^{-\frac{t}{2}} \text{ , }{0 \leq t \leq \pi}
siendo el periodo T0 = π y la frecuencia fundamental f0 = 1/T0 = 1/π Hz,
\omega_0 = \frac{a \pi}{T_0} = 2 \text{ rad/s}1.1 Desarrollo analítico
x(t) = a_0 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (2 n t) +b_n \sin (2 n t) a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t/2} \delta t = 0.504 a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t/2} \cos(2 n t) \delta t = 0.504 \Big( \frac{2}{1+16 n^2}\Big) b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-t/2} \sin (2 n t) \delta t = 0.504\Big( \frac{8n}{1+16 n^2}\Big) x(t) = 0.504\Big[ 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{2}{1+16 n^2} \Big)(\cos (2 n t) + 4n \sin (2 n t))\Big]Serie de Fourier en la forma exponencial,
C_0 = a_0 = 0.504 C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} = 0.504\sqrt{ \Big(\frac{2}{1+16 n^2}\Big) ^2 + \Big( \frac{8n}{1+16 n^2} \Big) ^2 } C_n = 0.504\Big( \frac{8}{\sqrt{1+16 n^2}} \Big) \theta_n = \tan ^{-1} \Big( \frac{-b_n}{a_n}\Big) = \tan^{-1} (-4n) = -\tan^{-1}(4n)con lo que se puede expresar x(t) como,
serie de Fourier fs(t), n términos no cero: + 0.504279523791290 + 0.0593270027989753*cos(2*t) + 0.015516293039732*cos(4*t) + 0.00695557963850055*cos(6*t) + 0.00392435427074934*cos(8*t) + 0.00251510984434559*cos(10*t) + 0.00174793595768211*cos(12*t) + 0.0012847885956466*cos(14*t) + 0.00098396004642203*cos(16*t) + 0.000777609134604919*cos(18*t) + 0.000629955682437589*cos(20*t) + 0.237308011195901*sin(2*t) + 0.124130344317856*sin(4*t) + 0.0834669556620066*sin(6*t) + 0.0627896683319894*sin(8*t) + 0.0503021968869117*sin(10*t) + 0.0419504629843708*sin(12*t) + 0.0359740806781048*sin(14*t) + 0.0314867214855049*sin(16*t) + 0.0279939288457771*sin(18*t) + 0.0251982272975036*sin(20*t) coeficientes: ['k_i', 'ak', 'bk', 'ck', 'cfs'] 0 ak: 0.50427952379129 bk: 0 ck: 0.50427952379129 cfs: 0 1 ak: 0.0593270027989753 bk: 0.2373080111959012 ck: 0.24461149899148976 cfs: -1.3258176636680326 2 ak: 0.015516293039732001 bk: 0.12413034431785602 ck: 0.1250963537844502 cfs: -1.4464413322481353 3 ak: 0.006955579638500553 bk: 0.08346695566200663 ck: 0.08375627006732632 cfs: -1.4876550949064553 4 ak: 0.003924354270749339 bk: 0.06278966833198943 ck: 0.06291218487450254 cfs: -1.5083775167989393 5 ak: 0.0025151098443455863 bk: 0.05030219688691173 ck: 0.05036503538347567 cfs: -1.5208379310729538 6 ak: 0.0017479359576821145 bk: 0.04195046298437075 ck: 0.04198686252526162 cfs: -1.5291537476963082 7 ak: 0.001284788595646599 bk: 0.03597408067810477 ck: 0.035997016020363336 cfs: -1.5350972141155728 8 ak: 0.0009839600464220293 bk: 0.031486721485504944 ck: 0.031502092109552245 cfs: -1.5395564933646284 9 ak: 0.0007776091346049191 bk: 0.02799392884577709 ck: 0.02800472689009217 cfs: -1.5430256902014756 10 ak: 0.000629955682437589 bk: 0.025198227297503564 ck: 0.025206100513536184 cfs: -1.5458015331759765 >>>
Instrucciones en Python:
# Serie de Fourier, espectro con n coeficientes # Lathi ej 6.1 p599 import numpy as np import sympy as sym # INGRESO t = sym.Symbol('t', real=True,) T0 = sym.pi ; t0 = 0 # periodo ; t_inicio ft = sym.exp(-t/2) n = 11 # número de coeficientes t_a = t0 # intervalo de t =[t_a,t_b] t_b = t0 + T0 # PROCEDIMIENTO serieF = sym.fourier_series(ft,(t,t0,t0+T0)) serieFk = serieF.truncate(n) def fourier_series_coef(serieF,n,T0, casicero=1e-10): ''' coeficientes de serie de Fourier ak,bk,ck_mag, ck_fase ''' w0 = 2*sym.pi/T0 ak = [float(serieF.a0.evalf())] bk = [0]; k_i=[0] ak_coef = serieF.an bk_coef = serieF.bn ck_mag = [ak[0]] ; ck_fase = [0] for i in range(1,n,1): ak_valor = ak_coef.coeff(i).subs(t,0) ak_valor = float(ak_valor.evalf()) ak.append(ak_valor) bk_term = bk_coef.coeff(i).evalf() bk_valor = 0 term_mul = sym.Mul.make_args(bk_term) for term_k in term_mul: if not(term_k.has(sym.sin)): bk_valor = float(term_k) else: # sin(2*w0*t) ki = term_k.args[0].subs(t,1)/w0 bk.append(bk_valor) k_i.append(i) # magnitud y fase ak_signo = 1 ; bk_signo = 1 if abs(ak_valor)>casicero: ak_signo = np.sign(ak_valor) if abs(bk_valor)>casicero: bk_signo = np.sign(bk_valor) signo_ck = ak_signo*bk_signo ck_mvalor = signo_ck*np.sqrt(ak_valor**2 + bk_valor**2) ck_mag.append(ck_mvalor) pendiente = np.nan if (abs(ak_valor)>=casicero): pendiente = -bk_valor/ak_valor ck_fvalor = np.arctan(pendiente) ck_fase.append(ck_fvalor) coef_fourier = {'k_i': k_i,'ak': ak,'bk': bk, 'ck_mag' : ck_mag,'ck_fase': ck_fase} return (coef_fourier) coef_fourier = fourier_series_coef(serieF,n,T0) # SALIDA #print('\n serie de Fourier fs(t): ') #sym.pprint(serieF) print('\n serie de Fourier fs(t), n términos no cero: ') term_suma = sym.Add.make_args(serieFk) for term_k in term_suma: operador = '+' factor_mul = sym.Mul.make_args(term_k) for factor_k in factor_mul: if not(factor_k.has(t)): if sym.sign(factor_k)<0: operador = '' print(operador,term_k.evalf()) print('\n coeficientes: ') m = len(coef_fourier['k_i']) print(list(coef_fourier.keys())) for i in range(0,m,1): print(str(coef_fourier['k_i'][i]), 'ak:',str(coef_fourier['ak'][i]), 'bk:',str(coef_fourier['bk'][i]) ) print(' ','ck_mag:',str(coef_fourier['ck_mag'][i]), 'ck_fase:',str(coef_fourier['ck_fase'][i]) )
gráfica de la serie de Fourier comparada con f(t) en un periodo,
Espectro de frecuencias,
Graficas en Python
Complementarias para realizar las gráficas, en un periodo, en varios periodos con periodo central destacado y espectro de frecuencias
# GRAFICA ---------------- import matplotlib.pyplot as plt import telg1001 as fcnm equivalentes = [{'DiracDelta': lambda x: 1*(x==0)}, {'Heaviside': lambda x,y: np.heaviside(x, 1)}, 'numpy',] # Evaluación para gráfica muestras = 101 t_a = float(t_a) ; t_b = float(t_b) figura_ft = fcnm.graficar_ft(ft,t_a,t_b,muestras) ti = np.linspace(t_a,t_b,muestras) # convierte a sympy una constante serieF_k = sym.sympify(serieFk,t) if serieFk.has(t): # no es constante serieF_t = sym.lambdify(t,serieF_k,modules=equivalentes) else: serieF_t = lambda t: serieF_k + 0*t SerieFi = serieF_t(ti) # evalua ti etiqueta = 'coeficientes = '+ str(n) figura_ft.axes[0].plot(ti,SerieFi,'orange', label = etiqueta) figura_ft.axes[0].legend() ft_etq = '' if not(ft.has(sym.Piecewise)): ft_etq = '$ = '+str(sym.latex(ft)) +'$' etiq_1 = 'f(t) '+ft_etq+' ; $T_0='+str(sym.latex(T0))+'$' figura_ft.axes[0].set_title(r'Serie de Fourier '+etiq_1) #plt.show() def graficar_ft_periodoT0(ft,t0,T0,muestras=51, n_periodos=4,f_nombre='f'): ''' grafica f(t) en intervalo[t0,t0+T0] para n_periodos ''' # convierte a sympy una constante ft = sym.sympify(ft,t) if ft.has(t): # no es constante f_t = sym.lambdify(t,ft,modules=equivalentes) else: f_t = lambda t: ft + 0*t # intervalo de n_periodos ti = np.linspace(float(t0-T0*n_periodos/2), float(t0+T0*n_periodos/2), n_periodos*muestras) fk = np.zeros(n_periodos*muestras) # ajuste de intervalo por periodos ti_T0 = (ti-t0)%float(T0)+t0 fi = f_t(ti_T0) # intervalo de UN periodo ti0 = np.linspace(float(t0),float(t0+T0),muestras) fi0 = f_t(ti0) fig_fT0, graf_fT0 = plt.subplots() graf_fT0.plot(ti,fi,label=f_nombre+'(t)', color= 'blue',linestyle='dashed') graf_fT0.plot(ti0,fi0,label=f_nombre+'(t)',color= 'blue') graf_fT0.axvline(t0, color ='red') graf_fT0.axvline(t0+T0, color ='red') graf_fT0.set_xlabel('t') graf_fT0.set_ylabel(f_nombre+'(t)') graf_fT0.legend() graf_fT0.grid() ft_etq = '' ; ft_ltx ='' if not(ft.has(sym.Piecewise)): ft_etq = '$ = '+str(sym.latex(ft)) +'$' etiq_1 = r''+f_nombre+'(t) '+ft_etq+' ; $T_0='+str(sym.latex(T0))+'$' graf_fT0.set_title(etiq_1) return(fig_fT0) def graficar_w_espectro(coef_fourier,T0,f_nombre='f'): ''' coef_fourier es diccionario con entradas ['k_i','ck_mag','ck_fase'] indice, Ck_magnitud, Ck_fase ''' # espectro de frecuencia k_i = coef_fourier['k_i'] ck = coef_fourier['ck_mag'] cfs = coef_fourier['ck_fase'] # grafica de espectro de frecuencia fig_espectro_w, graf_spctr = plt.subplots(2,1) graf_spctr[0].stem(k_i,ck,label='Ck_magnitud') graf_spctr[0].set_ylabel('|Ck|') graf_spctr[0].legend() graf_spctr[0].grid() ft_etq = '' ; ft_ltx ='' if not(ft.has(sym.Piecewise)): ft_etq = '$ = '+str(sym.latex(ft)) +'$' etiq_2 = ft_etq+' ; $T_0='+str(sym.latex(T0))+'$' etiq_1 = r'Espectro frecuencia '+f_nombre+'(t) ' graf_spctr[0].set_title(etiq_1+etiq_2) graf_spctr[1].stem(k_i,cfs,label='Ck_fase') graf_spctr[1].legend() graf_spctr[1].set_ylabel('Ck_fase') graf_spctr[1].set_xlabel('k') graf_spctr[1].grid() return(fig_espectro_w) fig_fT0 = graficar_ft_periodoT0(ft,t0,T0,muestras,f_nombre='x') fig_espectro_w = graficar_w_espectro(coef_fourier,T0,f_nombre='x') plt.show()
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]
Ejemplo 2. Señal triangular periódica
Referencia: Lathi Ej 6.2 p602
Encuentre serie de Fourier para la señal x(t) y muestre el espectro de amplitud y fase de x(t)
x(t) = \begin{cases} 4t & t< -\frac{1}{4} \\ -4t+4 & t\leq \frac{3}{4} \end{cases}
en el algoritmo el bloque de ingreso se escribe el periodo, intervalo y la función como:
T0 = 2 ; t0 = -T0/4 # periodo ; t_inicio A = 2 ft = sym.Piecewise((0, t<(-T0/4)), ((4*A/T0)*t, t<(T0/4)), (-(4*A/T0)*t+2*A, t<=(3*T0/4)), (0, True)) n = 9 # número de coeficientes
Serie de Fourier en forma trigonométrica:
serie de Fourier fs(t), n términos no cero: + 1.6211389382774*sin(pi*t) + 0.0200140609663877*sin(9*pi*t) + 0.00560947729507752*sin(17*pi*t) + 0.0648455575310962*sin(5*pi*t) + 0.009592538096316*sin(13*pi*t) -0.0133978424651025*sin(11*pi*t) -0.180126548697489*sin(3*pi*t) -0.00720506194789958*sin(15*pi*t) -0.0330844681281103*sin(7*pi*t) coeficientes: ['k_i', 'ak', 'bk', 'ck', 'cfs'] 0 ak: 0.0 bk: 0 ck: 0.0 cfs: 0 1 ak: 0.0 bk: 1.6211389382774044 ck: 1.6211389382774044 cfs: nan 2 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan 3 ak: 0.0 bk: -0.18012654869748937 ck: 0.18012654869748937 cfs: nan 4 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan 5 ak: 0.0 bk: 0.06484555753109618 ck: 0.06484555753109618 cfs: nan 6 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan 7 ak: 0.0 bk: -0.03308446812811029 ck: 0.03308446812811029 cfs: nan 8 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan
Comparando la serie de Fourier con f(t)
Espectro de frecuencias de f(t)
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]
Ejemplo 3. Señal rectangular periódica
Referencia: Lathi Ej 6.4 p605, Oppenheim Ej 4.5 p294
Encuentre serie de Fourier para la señal x(t) y muestre el espectro de amplitud y fase de x(t)
x(t) = \begin{cases} 0 & t<-\frac{\pi}{2} \\ 1 & -\frac{\pi}{2} \leq t \lt \frac{\pi}{2} \\ 0 & t>\frac{\pi}{2}\end{cases}T0 = 2*sym.pi ; t0 = -T0/2 # periodo ; t_inicio ft = sym.Piecewise((0, t<-(T0/4)), (1, t<(T0/4)), (0, t<(T0/2)), (0, True)) n = 9 # numero de coeficientes
la gráfica de f(t) dentro de un periodo:
la serie de Fourier en forma trigonométrica
serie de Fourier fs(t), n términos no cero: + 0.500000000000000 + 0.636619772367581*cos(0.318309886183791*pi*t) + 0.0489707517205832*cos(4.13802852038928*pi*t) + 0.0707355302630646*cos(2.86478897565412*pi*t) + 0.127323954473516*cos(1.59154943091895*pi*t) -0.0909456817667973*cos(2.22816920328654*pi*t) -0.0578745247606892*cos(3.5014087480217*pi*t) -0.0424413181578388*cos(4.77464829275686*pi*t) -0.212206590789194*cos(0.954929658551372*pi*t) coeficientes: ['k_i', 'ak', 'bk', 'ck', 'cfs'] 0 ak: 0.5 bk: 0 ck: 0.5 cfs: 0 1 ak: 0.6366197723675814 bk: 0.0 ck: 0.6366197723675814 cfs: -0.0 2 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan 3 ak: -0.21220659078919377 bk: 0.0 ck: -0.21220659078919377 cfs: 0.0 4 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan 5 ak: 0.12732395447351627 bk: 0.0 ck: 0.12732395447351627 cfs: -0.0 6 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan 7 ak: -0.09094568176679733 bk: 0.0 ck: -0.09094568176679733 cfs: 0.0 8 ak: 0.0 bk: 0.0 ck: 0.0 cfs: nan >>>
comparando la serie de Fourier con f(t):
el espectro de frecuencias,
[exponencial periódica] [triangular periódica] [rectangular periódica]