Transformada Laplace Ejercicio01

Ejemplo 1:

Referencia: Oppenheim ejemplo 9.37 p718/pdf746, semejante al ejercicio sistema-modelo LTI Lathi 1.8-1 pdf/p.80. Oppenheim problema 2.61c pdf/p.191

Suponga un sistema LTI causal que se describe mediante la ecuación diferencial:

\frac{d^2y(t)}{dt} + 3 \frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t)

junto con la condición de reposo inicial:

H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s +2}

Suponga que x(t) = α μ(t) , entonces la entrada del sistema es x(s) = α

Siempre que las señales de entrada son cero para t<0, la convolución es la multiplicación de los términos. (no aplica para valores t<0)

y(s) = H(s) X(s) = \Big[\frac{1}{s^2 + 3s +2} \Big]\Big[\frac{\alpha}{s}\Big] y(s) = \frac{\alpha}{2}\frac{1}{s} - \alpha\frac{1}{s+1} +\frac{\alpha}{2}\frac{1}{s+2}

por lo que aplicando la anti transformada:

y(t) = \alpha \Big [ \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2} e^{- 2t} \Big] u(t)

Usando Python y Sympy

Para crear la expresión polinómica simple, no usamos el factor α, que se añade luego de obtener el resultado, se obtiene:

    a         a      a 
--------- - ----- + ---
2*(s + 2)   s + 1   2*s

resultado al que hay que multiplicar por la constante α todos sus términos.

las instrucciones son:

# Oppenheim ejemplo 9.37 p718/pdf746
import sympy as sym

s = sym.Symbol('s')
a = sym.Symbol('a')
Hs = (1/(s**2+3*s+2))*(a/s)
separa = Hs.apart(s)

sym.pprint(separa)

Ejemplo 2

Referencia: Oppenheim ejemplo 9.38 p719/747

Considere el sistema caracterizado por la ecuación diferencial con condiciones iniciales.

\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3 \frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t) y(0^{-}) = \beta \text{, } y'(0^{-}) = \gamma

sea x(t) = αμ(t)

Aplicando la transformada de laplace en ambos lados de la ecuación con condiciones iniciales y aplicando la propiedad de diferenciación:

\frac{d^2y(t)}{dt^2} = s^2Y(s) - y(0^{-})s - y'(0^{-}) = s^2Y(s) - \beta s - \gamma \frac{dy(t)}{dt} = sY(s) - \beta

resultados que se insertan en la ecuacion original:

[s^{2}Y(s) - \beta s - \gamma] + 3[sY(s) - \beta] + 2Y(s) = \frac{\alpha}{s}

para simplificar como:

[s^{2}+3s +2] Y(s) - \beta s - (\gamma + 3 \beta) = \frac{\alpha}{s} [s^{2}+3s +2] Y(s) = \frac{\alpha}{s}+ \beta s + (\gamma + 3 \beta) (s+1)(s+2)Y(s) = \frac{\alpha}{s}+ \beta s + (\gamma + 3 \beta) Y(s) = \frac{\alpha}{s(s+1)(s+2)}+ \frac{\beta s}{(s+1)(s+2)} + \frac{(\gamma + 3 \beta)}{(s+1)(s+2)}

se encuentra que:

Y(s) = \frac{\beta (s+3)}{(s+1)(s+2)} + \frac{\gamma}{(s+2)(s+2)} + \frac{\alpha}{s(s+2)(s+2)}

donde Y(s) es la transformada unilateral de Laplace de y(t)

el último término, representa la respuesta del sistema LTI causal y la condición de reposo inicial, conocido también como la respuesta en estado cero.

Una interpretación análoga se aplica a los primeros dos términos del miembro derecho de la ecuación, que representa la respuesta del sistema cuando la entrada es cero (α=0) , conocida también como respuesta a entrada cero.

Observe que la respuesta a entrada cero es una función lineal de los valores de las condiciones iniciales. Demostrando que la respuesta es la superposición del estado cero y respuesta a entrada cero.

si α=2, β = 3 y γ=-5, al realizar la expansión en fracciones parciales encontramos que:

Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} + \frac{3}{s+2}

con la aplicación de las tablas de transformadas se obtiene:

y(t) = \Big[ 1 - e^{-t} + 3 e^{-2t} \Big] \mu (t) \text{, para } t\gt 0

usando Python y Sympy

se puede trabajar la ecuación para obtener:

ecuacion de entrada
    2                                   a
Ys*s  + 3*Ys*s + 2*Ys - b*s - 3*b - g = -
                                        s
ecuacion Ys:  
        2               
 a + b*s  + 3*b*s + g*s 
[----------------------]
      / 2          \    
    s*\s  + 3*s + 2/    
fracciones parciales de Ys: 
 a    a - 2*b - 2*g   a - 2*b - g
--- + ------------- - -----------
2*s     2*(s + 2)        s + 1   
sustituye a=2, b= 3 y g=-5
  3       1     1
----- - ----- + -
s + 2   s + 1   s
>>>

con las siguientes instrucciones, presentadas por cada sección de la parte de desarrollo analítico, para ir comparando los resultados.

# Oppenheim ejemplo 9.38 p719/747
import sympy as sym

s,a,b,g  = sym.symbols('s a b g')
Ys = sym.Symbol('Ys')

d2y = (s**2)*Ys - b*s - g
dy  = s*Ys - b

ecuacion = sym.Eq(d2y + 3*dy + 2*Ys, a/s)
ecuacionYs = sym.solve(ecuacion,Ys)
parciales = ecuacionYs[0].apart(s)

solucion = parciales.subs({a:2,b:3,g:-5})

print('ecuacion de entrada')
sym.pprint(ecuacion)
print('ecuacion Ys:  ')
sym.pprint(ecuacionYs)
print('fracciones parciales de Ys: ')
sym.pprint(parciales)
print('sustituye a=2, b= 3 y g=-5')
sym.pprint(solucion)

La definición de la ecuacion se realiza usando las variables como símbolos, incluyendo Y(s) como Ys. En éste ejercicio no existe X(s), por lo que no se la incluyó.

Luego se busca la expresión solución para Ys, por simplicidad se la cambia a fracciones parciales, asi es más sencillo usar la tabla de transformadas de Laplace.

Para una solución con los valores de a,b y g, se usa un diccionario {} con las parejas de variables y sus valores. Compare los resultados con lo expuesto en la parte teórica.

Publicado por

Edison Del Rosario

edelros@espol.edu.ec / Profesor del FIEC/FCNM-ESPOL